Základní věta algebry

Základní věta algebry (též označovaná jako Fundamentální věta algebry^[1]) je důležité matematické tvrzení, které má fundamentální význam v algebře, ale podstatnou roli hraje i v dalších odvětvích matematiky. Říká, že každý nekonstantní polynom s komplexními koeficienty má alespoň jeden komplexní kořen. Nejstarší publikovaný důkaz pochází od Jeana-Roberta Arganda z roku 1806.

Přesné znění

Nechť ${\displaystyle P(x)=a_{n}\cdot x^{n}+\ldots +a_{0}}$ je polynom s koeficienty ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {C} ,\;a_{n}\neq 0}$ stupně ${\displaystyle \,n\geq 1}$. Pak existuje číslo ${\displaystyle \,c\in \mathbb {C} }$, že ${\displaystyle \,P(c)=0}$.

Animace ilustrující důkaz základní věty algebry na polynomu ${\displaystyle x^{5}-x-1}$

Důkazy

Ač název věty odkazuje na algebru, jedná se o historický název, kdy se pod algebrou rozumělo především řešení algebraických rovnic. I vzhledem k tomu, že obsahem tvrzení jsou komplexní čísla, která jsou spíše analytickým objektem, všechny důkazy v menší či větší míře využívají metody analytické matematiky. Není jasné, zda vůbec čistě algebraický důkaz existuje.

Jeden z důkazů předložil i Carl Gauss ve své disertaci z roku 1799.^[2] Ten však obsahoval mezery.^[3] Později větu dokázal ještě třemi dalšími způsoby.

Komplexně analytický důkaz

Základní věta algebry je snadným důsledkem Liouvilleovy věty z komplexní analýzy:

Je-li f holomorfní omezená funkce na ${\displaystyle \mathbb {C} }$, pak f je konstantní.

Dále se dokazuje sporem. Nechť nějaký polynom P(x) s komplexními koeficienty aspoň prvního stupně nemá komplexní kořen. Pak funkce g(x) daná předpisem ${\displaystyle g(x)={\frac {1}{P(x)}}}$ je definována na celém ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Dále jistě v komplexní rovině existuje kruh K se středem v nule takový, že ${\displaystyle |P(x)|\geq 1}$ pro x ležící mimo K. Protože |P(x)| je spojitá funkce nenulová na K a K je kompaktní, existuje ${\displaystyle \,\varepsilon >0}$, že ${\displaystyle \,|P(x)|>\varepsilon }$ pro x z K. Potom ${\displaystyle |g(x)|<\max(1,{\frac {1}{\varepsilon }})}$ pro každé ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$. Tedy g(x) je omezená na ${\displaystyle \mathbb {C} }$ a holomorfní je zřejmě. Podle Liouvillovy věty tedy je g(x) konstantní a tedy i P(x) je konstantní, což je spor.

Důsledky

• Těleso komplexních čísel je algebraicky uzavřené.
• Polynom s komplexními koeficienty stupně ${\displaystyle n\geq 1}$ má v komplexní rovině právě n kořenů (počítá-li se každý kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost).
• Každý polynom s reálnými koeficienty lze zapsat jako součin konstanty a monických ireducibilních polynomů (v ${\displaystyle \mathbb {R} }$) stupňů jedna a dva.
• Každou racionální funkci lze rozložit na součet parciálních zlomků.

Související články

• Algebra
• Polynom
• Rovnice
• Základní věta integrálního počtu