Ытарлă пĕрчĕ

Сăнарлă пĕрчĕ е ытарлă пĕрчĕ — тытăмлă хисеп (комплексла хисеп), икккĕмĕш капашра вăл минус пĕррепе (—1) танлашать.

${\displaystyle i}$ комплекслă лаптăкра. Чăн хисепсем вертикаллĕ йĕр çинче выртаççĕ, сăнарлă хисепсем — горизонталлĕ йĕр çинче

Математикăра тата ытти ăславсенче сăнарлă пĕрчĕне i е j паллăпа кăтартаççĕ.

Çапла вара, ытарлă ${\displaystyle i}$ пĕрчĕ вăл — тăваткалĕ минус пĕррепе (−1) танлашакан хисеп. Урăхла каласан, ${\displaystyle x^{2}+1=0}$   е   ${\displaystyle x^{2}=-1}$ танлăхăн тупсăмĕсенчен пĕри, тепĕр тупсăмĕ — минус ${\displaystyle i}$ (${\displaystyle -i}$), — çавна кĕртсе лартса пит çăмăллăн тĕрĕслеме пулать.

Тытăмлă хисепсен тĕслĕхĕсем

Ытарлă пĕрчĕн капашĕсем

${\displaystyle i}$ степенĕсем çапла пĕрин хыççăн тепри тухаççĕ:

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle i^{-3}=i}$

${\displaystyle i^{-2}=-1}$

${\displaystyle i^{-1}=-i}$

${\displaystyle i^{0}=1}$

${\displaystyle i^{1}=i}$

${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle i^{3}=-i}$

${\displaystyle i^{4}=1}$

${\displaystyle \ldots }$

Кирек епле степеньшĕн çапла çырма пулать:

${\displaystyle i^{4n}=1}$

${\displaystyle i^{4n+1}=i}$

${\displaystyle i^{4n+2}=-1}$

${\displaystyle i^{4n+3}=-i.}$

унта n — кирек епле тулли хисеп.

Çавăнтан: ${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}$ унта mod 4 — 4 çине пайланинчен юлни.

Эйлер пĕртанлăхĕнчен тухни ${\displaystyle i^{i}}$ хисеп чăннине пĕлтерет:

${\displaystyle i^{i}={e^{(i\pi /2)i}}=e^{i^{2}\pi /2}=e^{-\pi /2}=0{,}20787957635\ldots }$.

Тĕрĕсрех, тытăмлă анализра степене хăпартни: ${\displaystyle x^{y}=\exp(y\cdot \operatorname {Ln} x)}$ нумай пĕлтерешлĕ функци шутланать, çавăнпа

${\displaystyle i^{i}=e^{-{\frac {\pi (1+4n)}{2}}}}$, унта ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$.

Çаплах тĕрĕс: ${\displaystyle (-i)^{(-i)}=i^{i}}$.

Факториал

i ытарлă пĕрчĕн факториалне 1 + i аргументлĕ гамма-функци пĕлтерĕшĕ пек палăртма пулать:

${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.}$

Çаплах

${\displaystyle |i!|={\sqrt {\pi \over \sinh(\pi )}}\approx 0.521564....}$^[1]

Сăнарлă пĕрчĕн тымарĕсем

Тĕп статья: Тымар (математика)

Ытарлă пĕрчĕн тăваткал тымарĕсем

Ытарлă пĕрчĕн куб тымарĕсем (виçкĕтеслĕх тăррисем)

Тытăмлă хисепсен уйĕнче n-лĕ степеньлĕ тымарăн n тупсăм. Тытăмлă лаптакра ытарлă пĕрчĕн тымарĕсем пĕрчеллĕ радиуслă çавракăша çырнă тĕрĕс n-кĕтеслĕхĕн тăррисем.

${\displaystyle u_{k}=\cos {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1}$

Çак Муавр формулинчен тата ытарлă пĕрчĕне тригонометрилле (:${\displaystyle i=\cos \ {\frac {\pi }{2}}+i\ \sin \ {\frac {\pi }{2}}}$) кăтартма пултармаллинчен тухать.

Сăмахран, ${\displaystyle {\sqrt {i}}=\left\{{\frac {1+i}{\sqrt {2}}};\ {\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}\right\}}$ тата ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}=\left\{-i;\ {\frac {i+{\sqrt {3}}}{2}};\ {\frac {i-{\sqrt {3}}}{2}}\right\}}$

Çаплах сăранлă пĕрчĕн тымарĕсене қăтартуллă евĕр çырма пулать:

${\displaystyle u_{k}=e^{\frac {({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}{n}},\quad k=0,1,...,n-1}$

Çав.пекех

• Иккĕлле хисепсем
• Комплекслă анализ
• Кватернион
• Гипертытăмлă хисеп

Вуламалли

• Мнимая единица // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.