Biimplikation

Biimplikation er en betegnelse i logik og matematik for et udsagn eller en funktion, der resulterer i værdien sand, når begge operander har samme sandhedsværdi. Dette betyder at enten er begge operander sande eller begge falske.

Se Wiktionarys definition på ordet: :en:hviss

I logik skrives en biimplikation

${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$

og læses: Det er tilfældet at P hvis og kun hvis det er tilfældet at Q. Det skal således forstås at P gælder kun hvis Q gælder men samtidigt også omvendt at Q gælder kun hvis P gælder. Det sidste kan skrives med symboler: (Q ⇒ P og P ⇒ Q ) ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ (${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$) .

Operanderne P og Q siges at være ækvivalente (eller logisk ækvivalente); i matematikken betyder det at operanderne udtrykker det samme fænomen på forskellige måder.

Biimplikation er transitiv. Dvs hvis P ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Q og Q ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ W gælder P ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ W.

Biimplikation bliver også skrevet som fraserne dobbelt implikation, hvis og kun hvis (engelsk if and only if - hyppigt forkortet til iff), hviss, når og kun når, netop hvis, netop når og ensbetydende med. Biimplikation kan skrives med symbolerne "${\displaystyle \Leftrightarrow }$", "⇄", "↔" eller "≡".

Definition

Sandhedstabellen for P ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Q er som følger - sidste søjle (S=sand, F=falsk):^[1][2]

Sandhedstabel

P	Q	P ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Q
S	S	S
S	F	F
F	S	F
F	F	S

Sandhedstabellen for P ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Q er ækvivalent med det som produceres af en XNOR-gate (NOT af en XOR-gate) - og det modsatte af hvad der produceres af en XOR-gate.^[3]

Biimplikation i matematik

Et typisk eksempel på anvendelse af biimplikation er i matematik for at illustrere at to ligninger har ækvivalente løsningsmængder. F.eks. kan man illustrere at ligningen ${\displaystyle 2x^{2}=8}$ har samme løsningsmængde som ${\displaystyle x^{2}=4}$ ved at skrive:

${\displaystyle 2x^{2}=8\Leftrightarrow x^{2}=4\Leftrightarrow (x=-2{\text{ eller }}x=2)}$.

Se også

• Logisk operator
• Ækvivalens