Loading AI tools
Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
In der Mathematik ist die Cayley-Menger-Determinante vor allem bei der Volumenberechnung von Bedeutung.
Sie wurde 1841 von Cayley angegeben und berechnet das Volumen von Dreiecken, Tetraedern und höherdimensionalen Simplizes.
Sei ein Simplex mit Ecken im -dimensionalen Raum .
Sei die symmetrische -Matrix, deren erste Zeile bzw. Spalte sind und deren Einträge für
sind. Dann ist die Cayley-Menger-Determinante des Simplexes definiert als Determinante von .
Das Volumen des Simplexes berechnet sich mittels der Cayley-Menger-Determinante durch
Die Fläche eines Dreiecks mit Seitenlängen berechnet sich als Quadratwurzel aus
Das ist eine Umformulierung des Satzes von Heron.
Das Volumen eines Tetraeders mit Kantenlängen berechnet sich als Quadratwurzel aus
Insbesondere gilt wenn die vier Punkte in einer Ebene liegen.
Eine im Wesentlichen äquivalente Formel war schon im 15. Jahrhundert von Piero della Francesca angegeben worden. Im englischen Sprachraum wird sie häufig als Tartaglia's Formel bezeichnet.
Karl Menger verwandte die Cayley-Menger-Determinante, um eine rein metrische Charakterisierung euklidischer Räume unter den metrischen Räumen zu geben.[1] Marcel Berger gab später eine allgemeinere Charakterisierung Riemannscher Mannigfaltigkeiten konstanter Schnittkrümmung mittels der Cayley-Menger-Determinante.[2]
Verschiedene Resultate der Abstandsgeometrie lassen sich mit Hilfe der Cayley-Menger-Determinante beweisen, zum Beispiel der Satz von Stewart.[3]
Die Gruppe der linearen Abbildungen des , welche die Cayley-Menger-Determinante eines Tetraeders (als Funktion der 6 Kantenlängen) invariant lassen, hat Ordnung 23040 und ist isomorph zur Weyl-Gruppe .[4]
Diese Symmetrien erhalten auch die Dehn-Invariante und bilden somit jedes Tetraeder in ein zerlegungsgleiches Tetraeder ab.[5]
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.