Erwartungswert

Erwartungswert

Der Erwartungswert (selten und doppeldeutig <a href="/de/Mittelwert" title="Mittelwert" class="wl">Mittelwert</a>) ist ein Grundbegriff der <a href="/de/Stochastik" title="Stochastik" class="wl">Stochastik</a>. Der Erwartungswert ist eine Kennzahl einer <a href="/de/Zufallsvariable" title="Zufallsvariable" class="wl">Zufallsvariablen</a>. Bei einer engeren Definition ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen eine reelle Zahl und damit endlich; bei einer weiteren Definition sind für den Erwartungswert einer Zufallsvariablen auch die Werte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pm \infty }">
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Der endliche Erwartungswert einer Zufallsvariablen wird häufig mit <a href="/de/My" title="My" class="wl"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">
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Ein endlicher Erwartungswert bestimmt die Lokalisation (Lage) der <a href="/de/Wahrscheinlichkeitsverteilung" title="Wahrscheinlichkeitsverteilung" class="mw-redirect wl">Verteilung</a> der Zufallsvariablen und ist vergleichbar mit dem empirischen <a href="/de/Arithmetisches_Mittel" title="Arithmetisches Mittel" class="wl">arithmetischen Mittel</a> einer <a href="/de/Häufigkeitsverteilung" title="Häufigkeitsverteilung" class="wl">Häufigkeitsverteilung</a> in der deskriptiven Statistik, jedoch mit einem wichtigen Unterschied: Der Erwartungswert ist der <a href="/de/Wahrer_Wert" title="Wahrer Wert" class="wl">"wahre" Mittelwert</a> einer <a href="/de/Zufallsvariable" title="Zufallsvariable" class="wl">Zufallsvariablen</a> (Mittelwert der <a href="/de/Grundgesamtheit" title="Grundgesamtheit" class="wl">Grundgesamtheit</a>), während sich das arithmetische Mittel in der Regel nur auf eine <a href="/de/Stichprobe" title="Stichprobe" class="wl">Stichprobe</a> von Werten bezieht (<a href="/de/Stichprobenmittel" title="Stichprobenmittel" class="wl">Stichprobenmittel</a>). Eine neue Stichprobe wird einen unterschiedlichen arithmetischen Mittelwert liefern, jedoch bleibt der Erwartungswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">
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Er berechnet sich als nach Wahrscheinlichkeit gewichtetes Mittel der Werte, die die Zufallsvariable annimmt. Er muss selbst jedoch nicht einer dieser Werte sein. 

Weil der Erwartungswert einer Zufallsvariablen nur von deren <a href="/de/Wahrscheinlichkeitsverteilung" title="Wahrscheinlichkeitsverteilung" class="mw-redirect wl">Wahrscheinlichkeitsverteilung</a> abhängt, wird auch vom Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung gesprochen, ohne Bezug auf eine Zufallsvariable. Der endliche Erwartungswert einer Zufallsvariablen kann als Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsmasse betrachtet werden und wird daher als ihr <a href="/de/Moment_(Stochastik)" title="Moment (Stochastik)" class="wl">erstes Moment</a> bezeichnet.

Der Erwartungswert ist ein Grundbegriff der Stochastik.  Der Erwartungswert ist eine Kennzahl einer Zufallsvariablen. Bei einer engeren Definition ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen eine reelle Zahl und damit endlich; bei einer weiteren Definition sind für den Erwartungswert einer Zufallsvariablen auch die Werte 
  
    
      
        ±
        ∞
      
    
    {\displaystyle \pm \infty }
  
 zugelassen. Es gibt Zufallsvariablen, für die kein Erwartungswert definiert ist. Der endliche Erwartungswert einer Zufallsvariablen wird häufig mit 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 abgekürzt und beschreibt die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Er ergibt sich zum Beispiel bei unbegrenzter Wiederholung des zugrunde liegenden Experiments als Durchschnitt der Ergebnisse. Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt, in welcher Form die Durchschnitte der Ergebnisse bei wachsender Anzahl der Experimente gegen den endlichen Erwartungswert streben, oder anders gesagt, wie die Stichprobenmittelwerte bei wachsendem Stichprobenumfang gegen den Erwartungswert konvergieren.
Ein endlicher Erwartungswert bestimmt die Lokalisation der Verteilung der Zufallsvariablen und ist vergleichbar mit dem empirischen arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung in der deskriptiven Statistik, jedoch mit einem wichtigen Unterschied: Der Erwartungswert ist der "wahre" Mittelwert einer Zufallsvariablen , während sich das arithmetische Mittel in der Regel nur auf eine Stichprobe von Werten bezieht . Eine neue Stichprobe wird einen unterschiedlichen arithmetischen Mittelwert liefern, jedoch bleibt der Erwartungswert 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 immer gleich. Er berechnet sich als nach Wahrscheinlichkeit gewichtetes Mittel der Werte, die die Zufallsvariable annimmt. Er muss selbst jedoch nicht einer dieser Werte sein.  