Geometrisches Mittel

Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel oder die mittlere Proportionale ist derjenige <a href="/de/Mittelwert" title="Mittelwert" class="wl">Mittelwert</a>, den man mithilfe der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">
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</math><img loading="lazy"src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="n">-ten Wurzel aus dem Produkt der betrachteten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">
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</math><img loading="lazy"src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="n"> positiven Zahlen erhält. Das geometrische Mittel ist stets kleiner oder gleich dem <a href="/de/Arithmetisches_Mittel" title="Arithmetisches Mittel" class="wl">arithmetischen Mittel</a>. Verwendung findet es u. a. in der <a href="/de/Statistik" title="Statistik" class="wl">Statistik</a>, <a href="/de/Finanzen" title="Finanzen" class="wl">Finanzen</a> und auch in geometrischen Konstruktionen, wie sie z. B. in Anwendungsbeispiele aufgeführt sind.

<figure class="mw-default-size wiki-thumb"><a href="/de/Datei:01-Mittlere_Proportionale.svg" class="mw-file-description image media-thumb" data-hash="Datei:01-Mittlere_Proportionale.svg"><img loading="lazy" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/01-Mittlere_Proportionale.svg/400px-01-Mittlere_Proportionale.svg.png" decoding="async" data-file-width="815" data-file-height="495" data-file-type="drawing" height="243" width="400" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/01-Mittlere_Proportionale.svg/600px-01-Mittlere_Proportionale.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/01-Mittlere_Proportionale.svg/800px-01-Mittlere_Proportionale.svg.png 2x" alt="01-Mittlere_Proportionale.svg"></a><figcaption>Das geometrische Mittel der Längen l1 und l2 ist die Länge lg.<a href="#cite_note-1" style="counter-reset: mw-Ref 1;">[1]</a><a href="#cite_note-Euklid-2" style="counter-reset: mw-Ref 2;">[2]</a> In diesem Beispiel steht l2 (teilweise durch lg überdeckt) im Punkt B senkrecht zu l1; Animation siehe <a href="/de/Datei:01-Mittlere_Proportionale.gif" title="Datei:01-Mittlere Proportionale.gif" class="wl">hier</a>.</figcaption></figure>

Die zwei Zahlen 1 und 2 haben zum Beispiel den geometrischen Mittelwert &nbsp; <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt[{2}]{1\cdot 2}}\approx 1{,}41\ ,}">
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 <mn>41</mn>
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 <mo>,</mo>
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 <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt[{2}]{1\cdot 2}}\approx 1{,}41\ ,}</annotation>
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</math><img loading="lazy"src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe52748e57f745e79af77efdc9a3f342acbfe961" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.4ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt[{2}]{1\cdot 2}}\approx 1{,}41\ ,}"> &nbsp; (arithmetisches Mittel = 1,5; &nbsp;die größere Zahl, hier: 2, wird beim geometrischen Mittel geringer bewertet).

Das geometrische Mittel oder die mittlere Proportionale ist derjenige Mittelwert, den man mithilfe der 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
-ten Wurzel aus dem Produkt der betrachteten 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 positiven Zahlen erhält. Das geometrische Mittel ist stets kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel. Verwendung findet es u. a. in der Statistik, Finanzen und auch in geometrischen Konstruktionen, wie sie z. B. in Anwendungsbeispiele aufgeführt sind. Die zwei Zahlen 1 und 2 haben zum Beispiel den geometrischen Mittelwert   
  
    
      
        
          
            
              1
              ⋅
              2
            
            
              2
            
          
        
        ≈
        1
        
          ,
        
        41
         
        ,
      
    
    {\displaystyle {\sqrt{1\cdot 2}}\approx 1{,}41\ ,}
  
   . 