Das geometrische Mittel oder die mittlere Proportionale ist derjenige Mittelwert, den man mithilfe der -ten Wurzel aus dem Produkt der betrachteten positiven Zahlen erhält. Das geometrische Mittel ist stets kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel. Verwendung findet es u. a. in der Statistik, Finanzen und auch in geometrischen Konstruktionen, wie sie z. B. in Anwendungsbeispiele aufgeführt sind.
Die zwei Zahlen 1 und 2 haben zum Beispiel den geometrischen Mittelwert (arithmetisches Mittel = 1,5; die größere Zahl, hier: 2, wird beim geometrischen Mittel geringer bewertet).
Das geometrische Mittel der Zahlen (mit für alle ) ist gegeben durch die -te Wurzel des Produkts der Zahlen:
Gemäß der obigen Darstellung entsteht durch den Thaleskreis ein rechtwinkliges DreieckACD. Mithilfe des Höhensatzes können wir dann berechnen zu , was genau der Formel für das geometrische Mittel entspricht.[2][3]
Das geometrische Mittel zweier Zahlen und liefert die Seitenlänge eines Quadrates, das den gleichen Flächeninhalt hat wie das Rechteck mit den Seitenlängen und . Diese Tatsache wird durch die geometrische Quadratur des Rechtecks veranschaulicht.
Genauso entspricht das geometrische Mittel bei drei Zahlen der Seitenlänge eines Würfels, der volumengleich ist zu dem Quader mit den drei Seitenlängen (siehe Bild: Quader und Würfel), und entsprechend im -dimensionalen bei Zahlen den Seitenlängen von Hyperwürfeln.
Auch mithilfe von Linien auf bzw. an einem Kreis lässt sich das geometrische Mittel erkennen:
Gegeben sei ein Kreis mit den Sehnen und , der Tangente in und der zu senkrechten Strecke , wobei Punkt des Kreises und Punkt der Tangente ist. habe die Länge , die Länge und sei der Durchmesser. Dann ist und damit das geometrische Mittel von und (siehe Bild: Planfigur).
Bei der geometrischen Mittelwertbildung aus zwei Werten weichen beide Werte vom Mittelwert um denselben Faktor ab. Dies ist beim arithmetischen Mittel nicht der Fall. So ergibt sich aus 1 und 9 das arithmetische Mittel 5. Dabei ist die 1 vom Mittelwert 5 um Faktor 5 entfernt, während die 9 lediglich um Faktor 1,8 davon entfernt liegt. Das geometrische Mittel aus 1 und 9 hingegen ergibt den Mittelwert 3. Sowohl der niedrige Wert 1 wie auch der hohe Wert 9 sind vom Mittelwert 3 um Faktor 3 entfernt. Der Unterschied zwischen arithmetischem und geometrischem Mittelwert kann beträchtlich sein, was in der Praxis unter Umständen zur Fehlinterpretation von Durchschnittsangaben führt. So ergeben sich beispielsweise aus 0,02 und 10 die Mittelwerte 5,01 (arithmetisch) und 0,45 (geometrisch).
Beispiele:
Für die Herstellung eines Würfels, der exakt das doppelte Volumen eines anderen Würfels haben soll – eine sogenannte Verdoppelung des Würfels – bedarf es des geometrischen Mittels aus der Seitenlänge des anderen Würfels und eines z.B mittels mechanischem Werkzeug bestimmten Zahlenwertes.
Das geometrische Mittel zweier Werte ist , z.B. von und : .
Von einer 0,1 molaren Lösung und einer 10 molaren Lösung werden Eigenschaften bestimmt, die sich konzentrationsabhängig einem linearen Zusammenhang folgend verändern. Um eine Lösung zu erhalten, die durchschnittliche Eigenschaften besitzt, muss das geometrische Mittel gebildet werden, das in diesem Fall = 1 ist. Der arithmetische Mittelwert hingegen würde eine 5,05 molare Lösung beschreiben, die vorwiegend die Eigenschaften der 10 molaren Lösung aufweist, sich also gar nicht durchschnittlich verhält.
Ein Guthaben wird im ersten Jahr mit zwei Prozent, im zweiten Jahr mit sieben und im dritten Jahr mit fünf Prozent verzinst. Welcher über die drei Jahre konstante Zinssatz hätte zum Schluss das gleiche Kapital ergeben?
Mit konstantem Zinssatz und zugehörigen Zinsfaktor ergibt sich am Ende ein Guthaben von
Mit ergibt sich
und damit berechnet sich der durchschnittliche Zinsfaktor zu
Der durchschnittliche Zinssatz beträgt also ca. . Allgemein berechnet sich der durchschnittliche Zinsfaktor also aus dem geometrischen Mittel der Zinsfaktoren der einzelnen Jahre. Wegen der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist der durchschnittliche Zinssatz kleiner oder bestenfalls gleich dem arithmetischen Mittel der Zinssätze, welches in diesem Beispiel beträgt.
Der mittlere Zins-Faktor errechnet sich als geometrisches Mittel; der mittlere Zins-Satz lässt sich als f-Mittel darstellen (siehe f-Mittel).
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seite 57