Konstruktionsverfahren

Als Konstruktionsverfahren werden nach den Postulaten des Euklid nur diejenigen Verfahren akzeptiert, die sich auf die Verwendung von Zirkel und Lineal (ohne Skala) beschränken. Für die Teilung einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes gibt es eine Fülle derartiger Verfahren, von denen im Folgenden exemplarisch nur einige erwähnt werden. Unterschieden wird dabei eine innere und äußere Teilung. Bei der äußeren Teilung wird der in der Verlängerung der Ausgangsstrecke außen liegende Punkt gesucht, der die vorhandene Strecke zum (größeren) Teil des Goldenen Schnittes macht. Der Goldene Schnitt stellt dabei einen Spezialfall der harmonischen Teilung dar. Aufgeführt werden im Folgenden auch zwei moderne, von Künstlern gefundene Konstruktionen.

Innere Teilung

Klassische innere Teilung	Klassisches Verfahren mit innerer Teilung nach Heron von Alexandria, das wegen seiner Einfachheit beliebt ist:^[42] Errichte auf der Strecke AB im Punkt B eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C. Der Kreis um C mit dem Radius CB schneidet die Verbindung AC im Punkt D. Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt im Punkt S die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Dies kann wie folgt eingesehen werden: Über den Satz des Pythagoras ergibt sich für die Länge der Hypotenuse der Wert \|AC\| $={\sqrt {1^{2}+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{2}}}$ \|AB\| $={\tfrac {\sqrt {5}}{2}}$ \|AB\|. Subtrahiert man von dieser die Länge \|DC\| $={\tfrac {1}{2}}$ AB, verbleibt gerade AD $={\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$ \|AB\| $=\Phi ^{-1}$ \|AB\| $=$ \|AS\|. Aus den algebraischen Vorüberlegungen ist nun bekannt, dass dies das Verhältnis der stetigen Teilung ist.^[43]
	Innere Teilung nach Euklid: Goldener Schnitt, innere Teilung nach Euklid Johann Friedrich Lorenz beschrieb im Jahr 1781 in seinem Buch Euklids Elemente folgende Aufgabe von Euklid: „Eine gegebne gerade Linie, AB, so zu schneiden, daß das Rectangel aus der Ganzen und Einem der Abschnitte, dem Quadrat des anderen Abschnitts gleich sey.“^[44] Das Ergebnis der nebenstehenden Animation zeigt, die Strecke AB ist in einem Verhältnis geteilt, das als Goldener Schnitt mit innerer Teilung bezeichnet wird. Als Darstellung dieses Verfahrens hat sich eine vereinfachte Konstruktion, siehe linkes Bild, bewährt: Errichte auf der Strecke AB im Punkt A eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C. Der Kreis um C mit dem Radius CB schneidet die Verlängerung von AC im Punkt D. Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt im Punkt S die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
	*Konstruktion nach dem österreichischen Künstler Kurt Hofstetter, die dieser 2005 im Forum Geometricorum^[45] publizierte:* Halbiere die Strecke AB in M durch Streckensymmetrale mit Radius AB und konstruiere dabei ein gleichseitiges Dreieck ABC mit der Seitenlänge AB und C unterhalb von AB. Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck MBD mit Schenkellänge AB über der Grundlinie MB. Die Strecke CD teilt im Punkt S die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Äußere Teilung

	Klassisches Verfahren mit äußerer Teilung nach Euklid: Äußere Teilung nach Eklid „Die Seiten eines demselben Kreis einbeschriebenen gleichseitigen Sechsecks und eines gleichseitigen Zehnecks zusammen ergeben eine Strecke, die in stetiger Teilung geteilt ist, wobei die Seite des Sechsecks der größere Teil ist.“^[46] Die nebenstehende Animation (am Ende mit 30 s Pause) zeigt prinzipiell die hierfür erforderlichen Konstruktionsschritte. Die abschließend eingetragenen strichlierten Linien sowie die Punkte K und L sind nicht Teil der Lösung nach Euklid. Sie sollen lediglich den konstruktiven Weg zur folgenden Vereinfachung verdeutlichen. Die Darstellung im linken Bild hat sich als vereinfachte Konstruktion bewährt: Errichte auf der Strecke AS im Punkt S eine Senkrechte der Länge AS mit dem Endpunkt C. Konstruiere die Mitte M der Strecke AS. Der Kreis um M mit dem Radius MC schneidet die Verlängerung von AS im Punkt B. S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Dieses Verfahren wird für die Konstruktion des Fünfecks bei gegebener Seitenlänge verwendet.
	Konstruktion nach dem amerikanischen Künstler George Odom, die dieser 1982 entdeckte:^[47] Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck. Konstruiere den Umkreis, also den Kreis, der durch alle Ecken des Dreiecks verläuft. Halbiere zwei Seiten des Dreiecks in den Punkten A und S. Die Verlängerung von AS schneidet den Kreis im Punkt B. S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Die algebraische Herleitung ist im Unterabschnitt Im Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks beschrieben.

Im Fünfeck und im Pentagramm

Regelmäßiges Fünfeck und Pentagramm bilden jeweils eine Grundfigur, in der das Verhältnis des Goldenen Schnittes wiederholt auftritt. Die Seite eines regelmäßigen Fünfecks befindet sich im Goldenen Schnitt zu seinen Diagonalen. Die Diagonalen untereinander wiederum teilen sich ebenfalls im Goldenen Verhältnis, das heißt, $\mathrm {\overline {AD}}$ verhält sich zu $\mathrm {\overline {BD}}$ wie $\mathrm {\overline {BD}}$ zu $\mathrm {\overline {CD}}$ . Der Beweis dazu nutzt die Ähnlichkeit geeignet gewählter Dreiecke.^[48]

Das Pentagramm, eines der ältesten magischen Symbole der Kulturgeschichte, steht in einer besonders engen Beziehung zum Goldenen Schnitt.^[49] Zu jeder Strecke und Teilstrecke im Pentagramm findet sich ein Partner, der mit ihr im Verhältnis des Goldenen Schnittes steht. In der Abbildung sind alle drei möglichen Streckenpaare jeweils blau (längere Strecke) und orange (kürzere Strecke) markiert. Sie lassen sich über das oben beschriebene Verfahren der stetigen Teilung nacheinander erzeugen. Im Prinzip ist es damit in das verkleinerte Pentagramm fortsetzbar, das in das innere Fünfeck gezeichnet werden könnte, und damit in alle weiteren. Stünden die beiden Strecken in einem Verhältnis ganzer Zahlen, müsste dieses Verfahren der fortgesetzten Subtraktion irgendwann Null ergeben und damit abbrechen. Die Betrachtung des Pentagramms zeigt aber anschaulich, dass das nicht der Fall ist. Eine Weiterentwicklung dieser Geometrie findet sich bei der Penrose-Parkettierung.^[50]

Für den Beweis, dass es sich um den Goldenen Schnitt handelt, beachte man, dass neben den vielen Strecken, die aus offensichtlichen Symmetriegründen gleich lang sind, auch $|{\overline {\mathrm {CD} }}|=|{\overline {\mathrm {CC'} }}|$ gilt. Ursache ist, dass das Dreieck $\mathrm {DCC^{\prime }}$ zwei gleiche Winkel besitzt, wie durch Parallelverschiebung der Strecke $\mathrm {\overline {CC^{\prime }}}$ erkannt werden kann, und daher gleichschenklig ist. Nach dem Strahlensatz gilt:

{\frac {|{\overline {\mathrm {AB} }}|}{|{\overline {\mathrm {BB'} }}|}}={\frac {|{\overline {\mathrm {AC} }}|}{|{\overline {\mathrm {CC'} }}|}}

Wird $|{\overline {\mathrm {AC} }}|=|{\overline {\mathrm {AB} }}|+|{\overline {\mathrm {BC} }}|$ ersetzt und die Gleichheit der auftretenden Teilstücke beachtet, so wird genau die obige Definitionsgleichung für den Goldenen Schnitt erhalten.

Im gleichschenkligen Dreieck

In einem gleichschenkligen Dreieck $\mathrm {ABC}$ , dessen Grundseite $\mathrm {\overline {AB}}$ längengleich zu der Höhe $\mathrm {\overline {DC}}$ ist, teilt der innerhalb des Dreiecks liegende Schnittpunkt $\mathrm {F}$ des Inkreises mit der Höhe diese im Goldenen Schnitt.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann $|{\overline {\mathrm {AB} }}|=|{\overline {\mathrm {CD} }}|$ angenommen werden. Die rechtwinkligen Dreiecke $\mathrm {MBE}$ und $\mathrm {DBM}$ sind kongruent, da sie in zwei Seiten und dem (rechten) Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen. Es gilt $|{\overline {\mathrm {DB} }}|=|{\overline {\mathrm {BE} }}|=1$ und damit $|{\overline {\mathrm {CE} }}|=|{\overline {\mathrm {CB} }}|-|{\overline {\mathrm {BE} }}|={\sqrt {5}}-1$ . Nach dem Satz des Pythagoras gilt $|{\overline {\mathrm {BC} }}|^{2}=2^{2}+1^{2}=5\Leftrightarrow |{\overline {\mathrm {BC} }}|={\sqrt {5}}$ in dem rechtwinkligen Dreieck $\mathrm {DBC}$ . Ebenfalls nach dem Satz des Pythagoras gilt in dem rechtwinkligen Dreieck $\mathrm {CME}$ : $|{\overline {\mathrm {CE} }}|^{2}=(2-r)^{2}-r^{2}\Leftrightarrow ({\sqrt {5}}-1)^{2}=4-4r\Leftrightarrow r={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}=\Phi ^{-1}$ . Mit $d=2r$ folgt hieraus $\Phi =2:d$ = (Höhe von ABC) : (Durchmesser des Inkreises von ABC), was zu zeigen war.^[51]

Im Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks

In dem gleichseitigen Dreieck $\mathrm {ABC}$ schneidet die durch $\mathrm {E}$ und $\mathrm {F}$ verlaufende Parallele zu ${\overline {\mathrm {AB} }}$ den Umkreis in $\mathrm {D}$ und $\mathrm {G}$ . Ist ${\overline {\mathrm {AE} }}={\overline {\mathrm {EC} }}$ , dann teilt $\mathrm {F}$ die Strecke ${\overline {\mathrm {EG} }}$ im Goldenen Schnitt.

Aus den Eigenschaften eines gleichseitigen Dreiecks und aus dem Strahlensatz folgen unmittelbar die Längengleichheiten

|{\overline {\mathrm {AE} }}|=|{\overline {\mathrm {BF} }}|=|{\overline {\mathrm {CE} }}|=|{\overline {\mathrm {CF} }}|=|{\overline {\mathrm {EF} }}|=a

und

|{\overline {\mathrm {AB} }}|=2a

.

Nach dem Sehnensatz gilt:

a^{2}=b(a+b)\Leftrightarrow {\frac {a^{2}}{b}}=a+b\Leftrightarrow \left({\frac {a}{b}}\right)^{2}={\frac {a}{b}}+1

\Leftrightarrow \left({\frac {a}{b}}\right)^{2}-\left({\frac {a}{b}}\right)-1=0\Leftrightarrow {\frac {a}{b}}=\Phi

Somit teilt $\mathrm {F}$ die Strecke ${\overline {\mathrm {EG} }}$ im Goldenen Schnitt.^[52]

Im Quader

Für einen Quader mit den Kantenlängen $\mathrm {a}$ , $\mathrm {b}$ und $\mathrm {c}$ , der Raumdiagonalenlänge $\mathrm {d}$ und dem Volumen $\mathrm {V}$ gelte $a>c$ , $b=1$ , $d=2$ und $V=1$ .

Dann gilt für den Goldenen Schnitt $\Phi$ das Verhältnis

\Phi ={\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}

.

Aus der Volumengleichung $a\cdot b\cdot c=1$ folgt wegen $b=1$

a\cdot c=1

. (1)

Da die Raumdiagonale die Länge 2 hat, gilt

{\sqrt {a^{2}+1^{2}+c^{2}}}=2\Leftrightarrow a^{2}+c^{2}=3

. (2)

Aus (1) und (2) erhält man $a^{2}+a^{-2}=3$ .

Die Lösungen mit positivem Wert sind $a=\Phi$ oder $a=\Phi ^{-1}$ und damit analog $c=\Phi$ oder $c=\Phi ^{-1}$ .

Wegen $a>c$ kommen nur $a=\Phi$ und $c=\Phi ^{-1}$ in Betracht.^[53] Damit ergibt sich

{\frac {a}{b}}=\Phi

und

{\frac {c}{b}}=\Phi ^{-1}

Im Ikosaeder

Thumb — Die 3 Goldenen Rechtecke (hellgrün, grün, lila) bilden mit ihren jeweils 4 Ecken die 12 Ecken (9 hier sichtbar) eines Ikosaeders

Die 12 Ecken des Ikosaeders bilden die Ecken von 3 gleich großen, senkrecht aufeinanderstehenden Rechtecken mit gemeinsamem Mittelpunkt und mit den Seitenverhältnissen des Goldenen Schnittes. Die zwölf Ecken eines Ikosaeders sind also die zwölf Ecken dreier goldener Rechtecke, die paarweise aufeinander senkrecht stehen.^[54] Diese Anordnung der 3 Rechtecke wird auch Goldener-Schnitt-Stuhl genannt. Weil der Ikosaeder zum Pentagondodekaeder dual ist, bilden die 12 Mittelpunkte der Fünfecke ebenfalls die Ecken eines Goldener-Schnitt-Stuhls.

Ferner kann in ein gegebenes Oktaeder ein Ikosaeder so einbeschrieben werden, dass dessen Ecken die Kanten des Oktaeders im Goldenen Schnitt teilen.^[55]

Goldenes Rechteck und Goldenes Dreieck

Ein Rechteck, dessen Seitenverhältnis dem Goldenen Schnitt entspricht, wird als Goldenes Rechteck benannt; ebenso heißt ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem zwei Seiten in diesem Verhältnis stehen, Goldenes Dreieck.

Zum Vergleich von Rechtecksproportionen siehe Abschnitt Vergleich mit anderen prominenten Seitenverhältnissen.
Ein Goldenes Dreieck ist Inhalt der Methode äußere Teilung im Abschnitt Konstruktionsverfahren, äußere Teilung

Goldener Winkel

{\displaystyle b} — Der Goldene Winkel ist der kleinere Kreiswinkel $b$ , dessen Verhältnis zum größeren Winkel ( $a:b$ ) dem Goldenen Schnitt entspricht.

Der Goldene Winkel ergibt sich, wenn der Vollwinkel (360°) gemäß dem Goldenen Schnitt geteilt wird. Dies erzeugt u. a. den überstumpfen Winkel ${\tfrac {2\pi }{\Phi }}\approx 3{,}88\approx 222{,}5^{\circ }$ . Dessen Ergänzungswinkel mit $2\pi -{\tfrac {2\pi }{\Phi }}\approx 2{,}40\approx 137{,}5^{\circ }$ wird als Goldener Winkel bezeichnet. Dies ist dadurch gerechtfertigt, dass es keine Rolle spielt, welcher der beiden Teilwinkel zuerst abgelesen wird und das Vorzeichen in der Angabe $\pm 2\pi$ nur die Drehrichtung des Winkels angibt.^[56]

Durch fortgesetzte Drehungen um den Goldenen Winkel entstehen immer neue Positionen, deren Besonderheit darstellt, dass sie sich theoretisch nie überschneiden. Dieser Effekt – wie im Bild skizziert bei den Blattansätzen einer Blüte – ist bedingt von der maximalen Irrationalität des Goldenen Schnitts. (Näheres im Abschnitt Biologie).

Dabei zerlegen die ersten $n$ Positionen den Kreis in $n$ Ausschnitte. Diese $n$ Ausschnitte haben höchstens drei verschiedene Winkel. Im Fall einer Fibonacci-Zahl $n=f_{k}$ treten nur zwei Winkel ${\tfrac {2\pi }{\Phi ^{k-1}}},{\tfrac {2\pi }{\Phi ^{k}}}$ auf. Für $f_{k}<n<f_{k+1}$ tritt der Winkel ${\tfrac {2\pi }{\Phi ^{k+1}}}$ hinzu.^[57]

Betrachtet man für wachsendes $n$ fortfolgend die sich verfeinernden Zerlegungen des Kreises, so teilt die $(n+1)$ -te Position stets einen der verbliebenen größten Ausschnitte, und zwar immer den im Verlauf der Teilungen zuerst entstandenen, das heißt den „ältesten“ Ausschnitt. Diese Teilung erfolgt im Goldenen Verhältnis, sodass, im Uhrzeigersinn gesehen, ein Winkel ${\tfrac {2\pi }{\Phi ^{l}}}$ mit geradem $l$ vor einem Winkel ${\tfrac {2\pi }{\Phi ^{l\pm 1}}}$ mit ungeradem $l\pm 1$ liegt.^[58]

Wenn wir den Ausschnitt mit dem Winkel ${\tfrac {2\pi }{\Phi ^{k}}}$ mit $w_{k}$ bezeichnen, so erhalten wir nacheinander die Kreiszerlegungen
$\ w_{0}$ , $\ w_{2}w_{1}$ , $\ w_{2}w_{2}w_{3}$ , $\ w_{4}w_{3}w_{2}w_{3}$ , $\ w_{4}w_{3}w_{4}w_{3}w_{3}$ , $\ w_{4}w_{3}w_{4}w_{3}w_{4}w_{5}$ , $\ w_{4}w_{4}w_{5}w_{4}w_{3}w_{4}w_{5}$ , $\ w_{4}w_{4}w_{5}w_{4}w_{4}w_{5}w_{4}w_{5}$ , $\ w_{6}w_{5}w_{4}w_{5}w_{4}w_{4}w_{5}w_{4}w_{5}$ , $\ w_{6}w_{5}w_{4}w_{5}w_{6}w_{5}w_{4}w_{5}w_{4}w_{5}$ usw.

Goldene Spirale und Spira mirabilis

Beide Spiralen hängen mit dem Goldenen Schnitt zusammen. Sie sind nicht als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar. Für eine Näherungskonstruktion bedarf es – wie im Folgenden erläutert – eines Goldenen Rechtecks bzw. eines Goldenen Dreiecks.^[59]

Goldene Spirale

Die Goldene Spirale, auch Bernoulli’sche Spirale genannt, ist ein Sonderfall der logarithmischen Spirale: Ihr Streckungsfaktor (siehe Zentrische Streckung) ist $\Phi$ ,^[59] die Zahl des Goldenen Schnitts. Sie lässt sich mittels rekursiver Teilung eines Goldenen Rechtecks in je ein Quadrat und ein weiteres, kleineres Goldenes Rechteck näherungsweise konstruieren. Ihr Radius ändert sich bei jeder 90°-Drehung um den Faktor $\Phi$ .

Die Goldene Spirale lässt sich unter Verwendung von Polarkoordinaten durch

\textstyle r(\theta )=\Phi ^{\frac {2\theta }{\pi }}

parametrisieren.^[60] Die Idee von Polarkoordinaten ist hierbei, einen Punkt $\mathrm {P}$ in der Ebene durch seinen Abstand $r$ zum Ursprung und den mit der $x$ -Achse eingeschlossen Winkel $\theta$ festzulegen. Dessen Polarkoordinaten sind dann $(r,\theta )$ , und durch Wahl des Radius in Abhängigkeit vom sich verändernden Winkel $\theta$ lassen sich manche geometrische Figuren durch eine entsprechende Funktion $r(\theta )$ einfacher beschreiben als in klassischen kartesischen Koordinaten. Zu beachten ist, dass mehrfache Umdrehungen um den Ursprung, etwa in den Fällen $\theta _{0}=0$ (Ausgangslage), $\theta _{1}=2\pi$ (eine Volldrehung), $\theta _{2}=4\pi$ (zwei Volldrehungen) usw. unterschiedliche Radii hervorrufen können, was auch an der nicht-periodischen Figur der Spirale zu erkennen ist.

Eine brauchbare Näherung für die Goldene Spirale findet sich bereits bei Kepler. Man erhält diese Approximation, wenn man in die Quadrate Viertelkreise mit dem Radius der Seitenlänge des Quadrats einzeichnet. Dies ist im mittleren Bild illustriert. Im linken Bild wird die Güte dieser Approximation veranschaulicht.

Grün Annäherung durch Vierteilkreise (rechtes Bild); Rot Goldene Spirale; Gelb: Überlappungen.
Annäherung der Goldenen Spirale, unter Benutzung von Viertelkreisen und der Fibonacci-Folge $1,1,2,3,5,8,13,21,\ldots$
Goldene Spiralen sind selbstähnlich. Ihre Form wiederholt sich unendlich oft, wenn sie vergrößert wird.

Die Goldene Spirale ist unter den logarithmischen Spiralen durch die folgende Eigenschaft ausgezeichnet. Seien $P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ vier auf der Spirale aufeinanderfolgende Schnittpunkte mit einer Geraden durch das Zentrum. Dann sind die beiden Punktepaare $P_{1},P_{4}$ und $P_{2},P_{3}$ harmonisch konjugiert, das heißt, für ihr Doppelverhältnis gilt:^[61]

(P_{\theta },P_{\theta +3\pi };\ P_{\theta +\pi },P_{\theta +2\pi })={\frac {(-\Phi ^{6}-\Phi ^{4})(-\Phi ^{2}-1)}{(-\Phi ^{6}+\Phi ^{2})(+\Phi ^{4}-1)}}={\frac {-\Phi ^{2}}{(-\Phi ^{2}+1)^{2}}}=-1

Spira mirabilis

Die Spira mirabilis ist ebenfalls ein Sonderfall der logarithmischen Spirale: Ihr Streckungsfaktor ist $\Phi ^{-1}$ ,^[62] sprich der Kehrwert des Goldenen Schnitts. Sie benötigt für die Näherungskonstruktion die rekursive Teilung eines Goldenen Dreiecks in je ein gleichschenkliges stumpfwinkliges Dreieck und in ein weiteres, kleineres Goldenes Dreieck. Dies ist begründet durch eine sogenannte Drehstreckung $\sigma$ . Sie enthält eine Drehung um ${\tfrac {-3\pi }{5}}$ (entspricht $-108^{\circ }$ ). Daraus ergibt sich eine Streckung mit dem Faktor $\Phi ^{-1}$ .

Das nebenstehende Bild zeigt ein solches gleichschenkliges Dreieck $\mathrm {ABC}$ mit den Basiswinkeln $72^{\circ }$ und dem Scheitelwinkel $36^{\circ }$ bei $\mathrm {A}$ . Es gilt: $\mathrm {\overline {|AC|}$ .^[62]

Vorgehensweise

Es beginnt mit dem Halbieren des Winkels $72^{\circ }$ am Scheitel $\mathrm {B}$ . Dabei teilt der generierte Punkt $\mathrm {D}$ die Schenkellänge ${\overline {\mathrm {AC} }}$ im Goldenen Schnitt. Es entsteht dabei das gleichschenklige stumpfwinklige Dreieck $\mathrm {ABD}$ sowie das Dreieck $\mathrm {BCD}$ . Dass letzteres auch ein Goldenes Dreieck ist, zeigt die folgende einfache Überprüfung der Winkelweiten.

Am Scheitel $\mathrm {B}$ ergibt sich durch die Winkelhalbierende des Ausgangsdreiecks die Winkelweite $36^{\circ }$ ; der Basiswinkel am Scheitel $\mathrm {C}$ bleibt unverändert $72^{\circ }$ . Wird die Winkelsumme eines ebenen Dreiecks mit $180^{\circ }$ berücksichtigt, ist am Scheitel $\mathrm {D}$ der Basiswinkel ebenfalls $72^{\circ }$ . Dies zeigt auf, das entstandene Dreieck $\mathrm {BCD}$ und das Goldene Dreieck $\mathrm {ABC}$ sind zwei zueinander ähnliche Dreiecke.^[62]

Für den Nachweis, dass der Punkt $\mathrm {D}$ tatsächlich die Schenkellänge ${\overline {\mathrm {AC} }}$ im Goldenen Schnitt teilt, gilt:^[63]

{\overline {\mathrm {AC} }}={\overline {\mathrm {BC} }}\cdot \Phi ={\overline {\mathrm {CD} }}\cdot \Phi ^{2}={\overline {\mathrm {CD} }}\cdot \left(\Phi +1\right)

.

Nun bedarf es noch der Bestimmung des Polpunktes $\mathrm {O}$ als Schnittpunkt der beiden Seitenhalbierenden ${\overline {\mathrm {XC} }}$ und ${\overline {\mathrm {YD} }}$ . Die darüber hinaus eingezeichneten goldenen Dreiecke $\mathrm {CDE,DEF,EFG,FGH,GHI}$ und anderes mehr zeigen, dass diese Vorgehensweise beliebig weit fortgesetzt werden kann.

Mit $\mathrm {A,B,C,D}$ und $\mathrm {E}$ sind die ersten fünf Punkte auf der – noch zu konstruierenden – Spirale bestimmt. Hat der Polpunkt $\mathrm {O}$ die Polarkoordinaten $\left(\mathrm {\mu ^{\theta },\theta } \right)$ , so gilt für die Spira mirabilis die Polargleichung^[62]

\mu =\Phi ^{\frac {5}{3\pi }}

.

Angenäherte Spira mirabilis mittels Kreisbögen

Praktikable Methode als Konstruktion mit Zirkel und Lineal

An den gleichschenkligen stumpfwinkligen Dreiecken wird jeweils um deren Scheitelpunkt mit dem stumpfen Winkel, ein Kreisbogen mit der Winkelweite $108^{\circ }$ (entspricht $180^{\circ }-2\cdot 36^{\circ }$ ) und dem Radius gleich dem eines Schenkels gezogen.

Mit anderen Worten: Am Dreieck $\mathrm {ABD}$ wird um dessen Scheitelpunkt $\mathrm {D}$ (mit dem stumpfen Winkel), ein Kreisbogen von $\mathrm {A}$ nach $\mathrm {B}$ gezogen. Gleiches gilt für die weiteren ähnlichen Dreiecke.

Geometrisches Mittel

Wird die Strecke $\mathrm {\overline {AB}}$ mit Länge $a$ durch den Punkt $\mathrm {T}$ im Verhältnis des Goldenen Schnitts in zwei Teilstrecken $\mathrm {\overline {AT}}$ und $\mathrm {\overline {BT}}$ mit Längen $x$ und $a-x$ geteilt, so ist $x$ bereits das geometrische Mittel der Zahlen $a$ und $a-x$ . Das folgt aus der allgemeinen Definition des geometrischen Mittels ${\bar {x}}_{\text{geom}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dotsm x_{n}}}$ , hier: $x={\sqrt[{2}]{a(a-x)}}$ . In der Tat folgt mit ${\tfrac {x}{a}}={\tfrac {1}{\Phi }}$ bereits

{\sqrt {a(a-x)}}=a{\sqrt {1-{\frac {1}{\Phi }}}}={\frac {a}{\Phi }}=x

.

Des Weiteren folgt daraus unmittelbar, dass $a$ wiederum das geometrische Mittel von $x$ und $a+x$ ist.^[64] Man hat in diesem Fall

{\sqrt {x(a+x)}}=a{\sqrt {{\frac {1}{\Phi }}\left(1+{\frac {1}{\Phi }}\right)}}=a

.

Gefalteter und verknoteter Papierstreifen

Mit der im Folgenden beschriebenen Papierstreifen-Methode erzeugt ein sogenannter Überhandknoten^[65] ein regelmäßiges Fünfeck (Bild 1), bei dem die Faltenlänge (rot) die Seitenlänge $a$ ist und die Diagonale (grün) – gebildet von der Kante des Papierstreifens – die Länge $\Phi \cdot a$ hat.

Die Diagonale und die sich daran anschließenden drei Seiten des Fünfecks bilden ein symmetrisches Trapez.^[66]

Hilfssatz

(1) Ist $\mathrm {ABCD}$ ein symmetrisches Trapez (Bild 2), so gilt

\mathrm {\overline {AB}} =\mathrm {\overline {BC}} =\mathrm {\overline {CD}}

,^[67]

so ist die Diagonale $\mathrm {\overline {AC}}$ auch die Winkelhalbierende des Winkels $\mathrm {BAD}$ .

(2) Ist der Winkel $\mathrm {BAD} =72^{\circ }$ , so verhält sich

|\mathrm {\overline {AC}} |:|\mathrm {\overline {AB}} |=\Phi :1

^[68]

Beweise

Zu (1)

Vorausgesetzt das Dreieck $\mathrm {BAC}$ ist gleichschenklig, so ist $\angle \mathrm {BAC} =\angle \mathrm {ACB}$ und $\angle \mathrm {CBD} =\angle \mathrm {BDC}$ . Aus der Symmetrie des Trapezes ergibt sich die Gleichheit der vier betrachteten Winkel (grün).

Die beiden Diagonalen $\mathrm {\overline {AC}}$ und $\mathrm {\overline {BD}}$ schneiden sich im Scheitel $\mathrm {S}$ und erzeugen damit den Scheitelwinkel $\angle \mathrm {DSA} =\angle \mathrm {BSC}$ .

Infolgedessen sind die Basiswinkeln des gleichschenkligen Dreiecks $\mathrm {SDA}$ gleich denen des $\triangle \mathrm {SBC}$ . Demzufolge ergibt sich die Gleichheit $\angle \mathrm {BAC} =\angle \mathrm {CBD} =\angle \mathrm {CAD}$ . Somit ist bestätigt: $\mathrm {\overline {AC}}$ ist die Winkelhalbierende von $\angle \mathrm {BAD}$ .^[68]

Zu (2)

Aufgrund der Voraussetzung folgt mittels Hilfssatz (1), der Winkel $\mathrm {CAD} =36^{\circ }$ . Wegen der Symmetrie des Trapezes ist auch der Winkel $\mathrm {ADC} =72^{\circ }$ . Da die Winkelsumme im Dreieck $\mathrm {ACD} =180^{\circ }$ beträgt, ist auch $\angle \mathrm {DCA} =72^{\circ }$ .

Demzufolge ist das Dreieck $\mathrm {ACD}$ wegen seiner Innenwinkeln $36^{\circ },\;72^{\circ },\;72^{\circ }$ ein Goldenes Dreieck. Das Dreieck $\mathrm {ACD}$ hat – für eine mögliche Zahl $a$ – deshalb die Seitenlängen $\Phi \cdot a,\;a,\;\Phi \cdot a$ . Somit ist bestätigt:

|\mathrm {\overline {AC}} |:|\mathrm {\overline {AB}} |=|\mathrm {\overline {AC}} |:|\mathrm {\overline {CD}} |=\Phi :1=\Phi

.^[68]

Vorbereitung des Papierstreifens

Zuerst ist die Streifenbreite gleich der Trapezhöhe zu ermitteln und anschließend die Anordnung der vier Trapeze ( $\mathrm {T_{1}\ldots T_{4}}$ ) darzustellen (Bild 3). Hierzu werden die ermittelten Abmaße des symmetrischen Trapezes $\mathrm {ABCD}$ – z. B. aus einem bereits konstruierten Fünfeck (siehe Bild 2) – auf einem Blatt Papier übertragen. Nach dem Beschriften der beiden Enden mit $\mathrm {E_{1},\;E_{2}}$ , bedarf es nur noch des Ausschneidens des Papierstreifens.

Papierfaltung

Bis zum fertigen Fünfeck sind nur drei Faltungen mit gleicher Faltrichtung und das Zusammenziehen des Überhandknotens erforderlich. Begonnen wird mit der Faltlinie $\mathrm {F_{1}}$ , demzufolge das Trapez $\mathrm {T_{2}}$ oberhalb des Streifenendes $\mathrm {E_{1}}$ (Bild 4) zum Liegen kommt. Der Punkt $\mathrm {A'}$ der Diagonale $\mathrm {\overline {A'C}}$ ist dabei direkt auf dem Punkt $\mathrm {A}$ positioniert. Das regelmäßige Fünfeck $\mathrm {ABCDE}$ kann man bereits jetzt erkennen.

Die zweite Faltung mit der Faltlinie $\mathrm {F_{2}}$ (Bild 5) und dritte Faltung mit $\mathrm {F_{2}}$ (Bild 6) werden analog zur ersten ausgeführt. Schließlich benötigt es nur noch das Durchziehen (Verknoten) des Streifenendes $\mathrm {E_{2}}$ zwischen dem Streifenende $\mathrm {E_{1}}$ und dem Trapez $\mathrm {T_{2}}$ , um das gesuchte regelmäßige Fünfeck mit Goldenen Schnitt zu erhalten.^[69]

Bild 4
Falten der ersten Faltlinie $\mathrm {F_{1}}$
Bild 5
Falten der zweiten Faltlinie $\mathrm {F_{2}}$
Bild 6
Falten der dritten und letzten Faltlinie $\mathrm {F_{3}}$ , Streifenende $\mathrm {E_{2}}$ zwischen dem Streifenende $\mathrm {E_{1}}$ und dem Trapez $\mathrm {T_{2}}$ durchgezogen