*-Algebra

Eine *-Algebra ist ein mathematischer Begriff aus der abstrakten Algebra. Eine *-Algebra bezeichnet eine algebraische Struktur, die einen involutiven Antiautomorphismus besitzt. Die Notation des Sterns kommt von der Notation für adjungierte Operatoren.

Definition

Eine *-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist ein komplexer Vektorraum mit einem ${\displaystyle \mathbb {C} }$-bilinearen, assoziativen Produkt ${\displaystyle (a,b)\mapsto ab}$ und einer Abbildung ${\displaystyle *:a\mapsto a^{*}}$, welche ein ${\displaystyle \mathbb {C} }$-antilinearer, involutiver Antiautomorphismus ist. Es gilt also^[1]

• ${\displaystyle (sa+tb)^{*}={\bar {s}}a^{*}+{\bar {t}}b^{*}}$
• ${\displaystyle (a^{*})^{*}=a}$
• ${\displaystyle (ab)^{*}=b^{*}a^{*}}$

für ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle s,t\in \mathbb {C} }$.

Erläuterungen

Sei ${\displaystyle f(x):=x^{*}}$, dann gilt in dieser Notation

• ${\displaystyle f(sa+tb)={\bar {s}}f(a)+{\bar {t}}f(b)}$
• ${\displaystyle f(f(a)))=a}$
• ${\displaystyle f(ab)=f(b)f(a)}$

für ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle s,t\in \mathbb {C} }$.

Beispiele

• Die komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ bilden mit der durch komplexe Konjugation gegebenen Abbildung ${\displaystyle z^{*}:={\overline {z}}}$ eine *-Algebra.
• Die Algebra ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n,\mathbb {C} )}$ der komplexen ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen mit der durch Bildung der transponiert-konjugierten Matrix gegebenen Abbildung ${\displaystyle A^{*}:={\overline {A}}^{T}}$ ist eine *-Algebra.
• Die beschränkten Operatoren eines gegebenen Hilbert-Raumes ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ bilden mit der durch Adjunktion von Operatoren gegebenen Abbildung eine *-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$. Nach Definition der Adjunktion gilt die Gleichung ${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,T^{*}y\rangle }$ für alle ${\displaystyle T\in {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}),x,y\in {\mathcal {H}}}$.
• Die kompakten Operatoren eines gegebenen Hilbert-Raumes ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ bilden eine *-Unteralgebra ${\displaystyle {\mathcal {K}}({\mathcal {H}})\subset {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$.
• Von-Neumann-Algebren sind *-Unteralgebren von ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$ für einen Hilbert-Raum ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.
• Die Automorphismen einer abelschen Varietät bilden mit der Rosati-Involution eine *-Algebra.
• Ist ${\displaystyle G}$ eine lokalkompakte Gruppe, so trägt die L¹-Gruppenalgebra ${\displaystyle L^{1}(G)}$ eine Involution, die ${\displaystyle L^{1}(G)}$ zu einer *-Algebra macht. Für ${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$ ist ${\displaystyle f^{*}\in L^{1}(G)}$ definiert durch ${\displaystyle f^{*}(t)\,=\,\Delta (t)^{-1}{\overline {f(t^{-1})}}}$, wobei ${\displaystyle \Delta }$ die modulare Funktion von ${\displaystyle G}$ ist.

Siehe auch

• C*-Algebra