Bisymmetrische Matrix

Eine bisymmetrische Matrix oder doppelt symmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, die sowohl bezüglich ihrer Hauptdiagonale, als auch bezüglich ihrer Gegendiagonale symmetrisch ist.

Symmetriemuster einer bisymmetrischen (5×5)-Matrix

Definition

Eine quadratische Matrix ${\displaystyle A\in K^{n\times n}}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ heißt bisymmetrisch, wenn für ihre Einträge

${\displaystyle a_{i,j}=a_{j,i}}$   und   ${\displaystyle a_{i,j}=a_{n-j+1,n-i+1}}$

für ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n}$ gilt.^[1] Die Einträge einer bisymmetrischen Matrix verändern sich demnach nicht, wenn sie an der Hauptdiagonale oder an der Gegendiagonale gespiegelt werden.

Beispiele

Bisymmetrische Matrizen der Größe ${\displaystyle 3\times 3}$ haben die allgemeine Form

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&b\\c&b&a\end{pmatrix}}}$

und diejenigen der Größe ${\displaystyle 4\times 4}$ die Form

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&e&f&c\\c&f&e&b\\d&c&b&a\end{pmatrix}}}$

mit ${\displaystyle a,b,c,d,e,f\in K}$.

Eigenschaften

Symmetrien

Eine bisymmetrische Matrix ist sowohl symmetrisch, als auch persymmetrisch und damit auch zentralsymmetrisch. Umgekehrt ist eine zentralsymmetrische Matrix, die zudem symmetrisch oder persymmetrisch ist, bisymmetrisch. Mit der Permutationsmatrix ${\displaystyle J\in K^{n\times n}}$ definiert durch

${\displaystyle J=(\delta _{i,n-j+1})_{ij}={\begin{pmatrix}0&&1\\&\cdot ^{\,\cdot ^{\,\cdot }}&\\1&&0\end{pmatrix}}}$

lassen sich bisymmetrische Matrizen auch kompakt durch die beiden Bedingungen

${\displaystyle A=A^{T}}$   und   ${\displaystyle JA=AJ}$

charakterisieren. Eine reelle symmetrische Matrix ist genau dann bisymmetrisch, wenn sich ihre Eigenwerte nach Multiplikation mit der Matrix ${\displaystyle J}$ von links oder rechts höchstens bezüglich des Vorzeichens unterscheiden.^[2]

Summe und Produkt

Die Summe ${\displaystyle A+B}$ zweier bisymmetrischer Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ ergibt wieder eine bisymmetrische Matrix, ebenso sind auch skalare Vielfache ${\displaystyle cA}$ mit ${\displaystyle c\in K}$. Nachdem die Nullmatrix trivialerweise bisymmetrisch ist, bilden die bisymmetrischen Matrizen einen Untervektorraum im Matrizenraum ${\displaystyle K^{n\times n}}$.

Das Produkt ${\displaystyle A\cdot B}$ zweier bisymmetrischer Matrizen ergibt genau dann wieder eine bisymmetrische Matrix, wenn die beiden Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ kommutieren.

Inverse

Für Inverse ${\displaystyle A^{-1}}$ einer bisymmetrischen Matrix gilt, sofern sie existiert

${\displaystyle A^{-1}=(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}}$   und   ${\displaystyle JA^{-1}=(AJ)^{-1}=(JA)^{-1}=A^{-1}J}$.

Die Inverse einer regulären bisymmetrischen Matrix ist demnach wieder bisymmetrisch.^[3]

Siehe auch

• Hankel-Matrix
• Toeplitz-Matrix