Anordnung von Zahlen oder anderen mathematischen Objekten in Tabellenform Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
In der Mathematik versteht man unter einer Matrix (Plural Matrizen) eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen (meist mathematischer Objekte, etwa Zahlen). Rechteckig bedeutet, dass die Anordnung der Elemente in Zeilen und Spalten stattfindet. Die Zeilen und Spalten einer Matrix nennt man zusammengefasst auch Reihen.
Das Element einer Matrix in der -ten Zeile und -ten Spalte wird mit bezeichnet. Mit den Objekten einer Matrix lässt sich dann in bestimmter Weise rechnen, indem man Matrizen zum Beispiel addiert oder miteinander multipliziert.
Matrizen sind ein Schlüsselkonzept der linearen Algebra und tauchen in fast allen Gebieten der Mathematik auf. Sie stellen Zusammenhänge, in denen Linearkombinationen eine Rolle spielen, übersichtlich dar und erleichtern damit Rechen- und Gedankenvorgänge. Sie werden insbesondere dazu benutzt, lineare Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben und zu lösen.
Der Name „Matrix“ (lateinisch für „Muttertier“, „Gebärmutter“,[1] abgeleitet von mater – Mutter) wurde 1850 von James Joseph Sylvester geprägt.[2]
Eine Anordnung, wie in nebenstehender Abbildung, von Elementen erfolgt in Zeilen und Spalten. Die Verallgemeinerung auf mehr als zwei Indizes wird auch Hypermatrix genannt.[3]
Als Notation hat sich die Anordnung der Elemente in Zeilen und Spalten zwischen zwei großen öffnenden und schließenden Klammern durchgesetzt. In der Regel verwendet man runde Klammern, es werden aber auch eckige verwendet. Zum Beispiel bezeichnen
Matrizen mit zwei Zeilen und drei Spalten. Matrizen werden üblicherweise mit Großbuchstaben (manchmal fett gedruckt oder, handschriftlich, einfach oder doppelt unterstrichen), vorzugsweise , bezeichnet. Eine Matrix mit Zeilen und Spalten nennt man eine Matrix vom Typ oder kurz -Matrix.[4] Auch die Schreibweisen -Matrix und -Matrix sind verbreitet. Man schreibt sie
Ein nennt man Matrixelement oder kurz Element,[5][6] neuerdings auch Matrixeintrag oder kurz Eintrag.[7] Auch die Begriffe Matrixkomponente oder kurz Komponente werden verwendet.[5] Insbesondere im Fall von - oder -Matrizen ist der Name Komponente verbreitet.[8] Bei Tensoren spricht man auch von Tensorkoordinate oder kurz Koordinate.[9]
Die Elemente können sowohl reelle als auch komplexe Zahlen sein, aber auch andere mathematische Objekte, z. B. Vektoren, Polynome, Differentiale, andere Formeln oder selbst wieder Matrizen.[10]
Ein bestimmtes Element beschreibt man durch zwei Indizes, meist ist das Element in der ersten Zeile und der ersten Spalte durch beschrieben. Allgemein bezeichnet das Element in der -ten Zeile und der -ten Spalte. Bei der Indizierung wird dabei stets als erstes der Zeilenindex und als zweites der Spaltenindex des Elements genannt. Merkregel: Zeile zuerst, Spalte später. Wenn Verwechslungsgefahr besteht, werden die beiden Indizes mit einem Komma abgetrennt. So wird zum Beispiel das Matrixelement in der ersten Zeile und der elften Spalte mit bezeichnet.
Einzelne Zeilen und Spalten einer Matrix werden oft als Spalten- oder Zeilenvektoren bezeichnet. Ein Beispiel:
Bei einzeln stehenden Zeilen- und Spaltenvektoren einer Matrix wird gelegentlich der unveränderliche Index weggelassen. Manchmal werden Spaltenvektoren zur kompakteren Darstellung als transponierte Zeilenvektoren geschrieben, also:
Der Typ einer Matrix ergibt sich aus der Anzahl ihrer Zeilen und Spalten. Eine Matrix mit Zeilen und Spalten nennt man eine -Matrix (sprich: m-mal-n- oder m-Kreuz-n-Matrix). Stimmen Zeilen- und Spaltenanzahl überein, so spricht man von einer quadratischen Matrix.
Schreibweise für quadratische Matrix A:
Gesprochen: A ist eine Matrix der Menge (Matrizenring) der quadratischen Matrizen mit n Zeilen und Spalten über dem Ring R (in der Regel ist R ein Körper)
Eine Matrix, die aus nur einer Spalte oder nur einer Zeile besteht, wird üblicherweise als Vektor aufgefasst. Einen Vektor mit Elementen kann man je nach Kontext als einspaltige -Matrix oder einzeilige -Matrix darstellen. Neben den Begriffen Spaltenvektor und Zeilenvektor sind hierfür die Begriffe Spaltenmatrix und Zeilenmatrix geläufig. Eine -Matrix ist sowohl Spalten- als auch Zeilenmatrix und wird als Skalar angesehen.
Eine Matrix ist eine doppelt indizierte Familie. Formal ist dies eine Funktion
die jedem Indexpaar als Funktionswert das Element zuordnet. Beispielsweise wird dem Indexpaar als Funktionswert das Element zugeordnet. Der Funktionswert ist also das Element in der -ten Zeile und der -ten Spalte. Die Variablen und entsprechen der Anzahl der Zeilen bzw. Spalten. Nicht zu verwechseln mit dieser formalen Definition einer Matrix als Funktion ist, dass Matrizen selbst lineare Abbildungen beschreiben.
Die Menge aller -Matrizen über der Menge wird in üblicher mathematischer Notation auch geschrieben; hierfür hat sich die Kurznotation eingebürgert. Manchmal werden die Schreibweisen oder seltener benutzt.
Auf dem Raum der Matrizen werden elementare Rechenoperationen definiert.
Zwei Matrizen können addiert werden, wenn sie vom selben Typ sind, das heißt, wenn sie dieselbe Anzahl von Zeilen und dieselbe Anzahl von Spalten besitzen. Die Summe zweier -Matrizen ist komponentenweise definiert:
Rechenbeispiel:
In der linearen Algebra sind die Matrixelemente üblicherweise Elemente eines Körpers (Körperelemente), wie der reellen oder komplexen Zahlen. In diesem Fall ist die Matrizenaddition assoziativ, kommutativ und besitzt mit der Nullmatrix ein neutrales Element. Im Allgemeinen besitzt die Matrizenaddition diese Eigenschaften jedoch nur, wenn die Matrixelemente Elemente einer algebraischen Struktur sind, die diese Eigenschaften hat.
Eine Matrix wird mit einem Skalar multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit dem Skalar multipliziert wird:
Rechenbeispiel:
Die Skalarmultiplikation darf nicht mit dem Skalarprodukt verwechselt werden. Um die Skalarmultiplikation durchführen zu dürfen, müssen der Skalar und die Matrixelemente demselben Ring entstammen. Die Menge der -Matrizen ist in diesem Fall ein (Links-)Modul über
Zwei Matrizen können multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der linken mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Das Produkt einer -Matrix und einer -Matrix ist eine -Matrix deren Elemente berechnet werden, indem die Produktsummenformel, ähnlich dem Skalarprodukt, auf Paare aus einem Zeilenvektor der ersten und einem Spaltenvektor der zweiten Matrix angewandt wird:
Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, d. h., im Allgemeinen gilt . Die Matrizenmultiplikation ist allerdings assoziativ, d. h., es gilt stets:
Eine Kette von Matrix-Multiplikationen kann daher unterschiedlich geklammert werden. Das Problem, eine Klammerung zu finden, die zu einer Berechnung mit der minimalen Anzahl von elementaren arithmetischen Operationen führt, ist ein Optimierungsproblem. Die Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation genügen zudem den beiden Distributivgesetzen:
für alle -Matrizen und -Matrizen sowie
für alle -Matrizen und -Matrizen
Quadratische Matrizen können mit sich selbst multipliziert werden; analog zur Potenz bei den reellen Zahlen führt man abkürzend die Matrixpotenz oder ein. Damit ist es auch sinnvoll, quadratische Matrizen als Elemente in Polynome einzusetzen. Zu weitergehenden Ausführungen hierzu siehe unter Charakteristisches Polynom. Zur einfacheren Berechnung kann hier die jordansche Normalform verwendet werden. Quadratische Matrizen über oder kann man darüber hinaus sogar in Potenzreihen einsetzen, vgl. Matrixexponential. Eine besondere Rolle bezüglich der Matrizenmultiplikation spielen die quadratischen Matrizen über einem Ring , also . Diese bilden selbst mit der Matrizenaddition und -multiplikation wiederum einen Ring, der Matrizenring genannt wird.
Die Transponierte einer -Matrix ist die -Matrix , das heißt, zu
ist
die Transponierte. Man schreibt also die erste Zeile als erste Spalte, die zweite Zeile als zweite Spalte usw. Die Matrix wird an ihrer Hauptdiagonalen gespiegelt. Es gelten die folgenden Rechenregeln:
Bei Matrizen über ist die adjungierte Matrix genau die transponierte Matrix.
Falls die Determinante einer quadratischen -Matrix über einem Körper nicht gleich null ist, d. h., falls , so existiert die zur Matrix inverse Matrix . Für diese gilt
wobei die -Einheitsmatrix ist. Matrizen, die eine inverse Matrix besitzen, bezeichnet man als invertierbare oder reguläre Matrizen. Diese haben vollen Rang. Umgekehrt werden nichtinvertierbare Matrizen als singuläre Matrizen bezeichnet. Eine Verallgemeinerung der Inversen für singuläre Matrizen sind sog. pseudoinverse Matrizen.
Das Matrixprodukt zweier -Vektoren und ist nicht definiert, da die Anzahl der Spalten von im Allgemeinen ungleich der Anzahl der Zeilen von ist. Die beiden Produkte und existieren jedoch.
Das erste Produkt ist eine -Matrix, die als Zahl interpretiert wird; sie wird das Standardskalarprodukt von und genannt und mit oder bezeichnet. Geometrisch entspricht dieses Skalarprodukt in einem kartesischen Koordinatensystem dem Produkt
der Beträge der beiden Vektoren und des Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels. Beispielsweise gilt
Das zweite Produkt ist eine -Matrix und heißt dyadisches Produkt oder Tensorprodukt von und (geschrieben ). Seine Spalten sind skalare Vielfache von , seine Zeilen skalare Vielfache von . Beispielsweise gilt
Die Menge der -Matrizen über einem Körper bildet mit der Matrizenaddition und der Skalarmultiplikation einen -Vektorraum. Dieser Vektorraum hat die Dimension . Eine Basis von ist gegeben durch die Menge der Standardmatrizen mit , . Diese Basis wird manchmal als Standardbasis von bezeichnet.
Die Spur des Matrixprodukts
ist dann im Spezialfall ein reelles Skalarprodukt. In diesem euklidischen Vektorraum stehen die symmetrischen Matrizen und die schiefsymmetrischen Matrizen senkrecht aufeinander. Ist eine symmetrische und eine schiefsymmetrische Matrix, so gilt .
Im Spezialfall ist die Spur des Matrixproduktes
ein komplexes Skalarprodukt und der Matrizenraum wird zu einem unitären Vektorraum. Dieses Skalarprodukt wird Frobenius-Skalarprodukt genannt. Die von dem Frobenius-Skalarprodukt induzierte Norm heißt Frobeniusnorm und mit ihr wird der Matrizenraum zu einem Banachraum.
Das Besondere an Matrizen über einem Ring ist der Zusammenhang zu linearen Abbildungen. Zu jeder Matrix lässt sich eine lineare Abbildung mit Definitionsbereich (Menge der Spaltenvektoren) und Wertebereich definieren, indem man jeden Spaltenvektor auf abbildet. Umgekehrt entspricht jeder linearen Abbildung