Konsum-Investitions-Problem

Das Konsum-Investitions-Problem ist ein Standardproblem der modernen Finanzökonomik. Es stellt die Frage, wie ein risikoscheuer Anleger über seinen Lebenszyklus sein verfügbares Finanz- und Humankapital über die Zeit anlegen und wie viel er zu jedem Zeitpunkt konsumieren sollte (d. h. wie hoch seine Sparquote sein sollte und welches Portfolio er für sein Anlagevermögen wählen sollte). Das Problem lässt sich als stochastisches Optimierungsproblem darstellen und wurde in seiner Grundform 1969 von Robert C. Merton formuliert.^[1] Es ist deshalb auch als Mertonsches Portfolioproblem bekannt.

Problemformulierung

Als Grundlage des Konsum-Investitions-Problems wird ein Marktmodell benötigt. Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {P} )}$ der dem Marktmodell unterliegende filtrierte Wahrscheinlichkeitsraum und ${\displaystyle F=\{B,S^{1},\ldots ,S^{d}\}}$ der Vektor aller verfügbaren Finanzinstrumente. Der Anleger besitzt ein Startvermögen ${\displaystyle v\in \mathbb {R} _{+}}$ zu Beginn des Zeitraumes und folgt einer Nutzenfunktion ${\displaystyle u}$ über den gesamten Zeitraum. Ziel des Anlegers ist es, die bestmögliche annehmbare Handelsstrategie ${\displaystyle \xi }$ zu wählen, damit sein Vermögen ${\displaystyle V^{\xi }}$ zum Endzeitpunkt ${\displaystyle T\in \mathbb {R} _{+}}$ maximiert wird.

$${\displaystyle \mathbb {E} [u(V_{T}^{\xi })]\rightarrow \max _{\begin{matrix}\xi .F_{0}\leq v\\\xi \mathrm {\ annehmbar} \end{matrix}}!}$$Das Problem lässt sich auch für unbegrenzte Zeiträume formulieren. Je nachdem welche Annahmen (z. B. ohne oder mit Transaktionskosten) gestellt werden, lässt sich das Vermögen verschiedentlich darstellen.

Lösungsansätze

Je nach Annahmen und Bedingungen an das Konsum-Investitions-Problem ergeben sich verschiedene Lösungsansätze. Im Falle des Problems mit Transaktionskosten wurden viererlei Ansätze hauptsächlich gewählt:^[2]

1. Der primäre Ansatz beruht auf Methoden aus der stochastischen Kontrolltheorie, wobei Viskositätslösungen der zum Problem zugehörigen Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung ermittelt werden.
2. Der duale Ansatz nutzt Schattenpreise, um einen analogen reibungsfreien Markt zu formulieren, worauf optimale Handelsstrategien ermittelt werden.
3. Der dritte Ansatz untersucht die Asymptotik verschwindender Kosten.
4. Der vierte Ansatz nutzt superharmonische Funktionen ähnlich der stochastischen Perron-Methode.

Schlussfolgerungen

1969 löste Merton das Konsum-Investitions-Problem für Stiftungen mit fester sowie mit unendlicher Lebensdauer mithilfe der Itō-Formel. Eine zentrale Einsicht von Mertons Modell ist, dass ein Anleger mit einer gewöhnlichen isoelastischen Nutzenfunktion „kurzfristig“ anlegt; langfristige Anlage die Risiken nicht senkt.^[3] Risiko äußert sich im Modell konkret darin, dass die Sparquote und damit das für den Konsum verfügbare Kapital mit dem Kapitalmarkt schwankt. Erzielt der Kapitalmarkt Verluste, muss die Sparquote erhöht werden und umgekehrt. Sie ist nicht mehr nur abstrakt Schwankung der Größe des Vermögens. Des Weiteren ergibt sich, dass sich die Tobin-Separation aufrechterhalten lässt.

Das Mertonsche Modell überwindet damit die Defizite des Kapitalgutpreismodells. Verfeinerungen des Modells berücksichtigen Transaktionskosten^[2][4], Rentenalterwahl, Insolvenz, menschentypische Lebenszyklen (d. h. stochastische Sterblichkeit) und andere Faktoren. Mertons Modell ist das Standardmodell für rationale, den gesamten Lebenszyklus berücksichtigende Finanzplanung geworden.^[5]

Literatur

• Ralf Korn: Moderne Finanzmathematik – Theorie und praktische Anwendung: Band 1 – Optionsbewertung und Portfolio-Optimierung (= Studienbücher Wirtschaftsmathematik). Springer Spektrum, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-04126-7, Kap. 5: Zeitstetige Portfolio-Optimierung, S. 253–307.Fehler in Vorlage:Literatur – *** Parameterproblem: Dateiformat/Größe/Abruf nur bei externem Link