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Kriterium von Bertrand

mathematischer Satz Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

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Das Kriterium von Bertrand oder das Bertrandsche Kriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium zur Bestimmung der (absoluten) Konvergenz sowie Divergenz unendlicher Reihen, das nach dem französischen Mathematiker Joseph Bertrand (1822–1900) benannt ist.

Formulierung

Sei eine positive reelle Folge und die zugehörige Reihe. Die Folge mit:

habe den endlichen oder unendlichen (respektive uneigentlichen) Grenzwert :

.

Dann gilt für die Reihe: ist .

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Beweis

Zusammenfassung
Kontext

Sei mit . Die Reihe divergiert aufgrund des Integralkriteriums. Setzen wir , so gilt und ist monoton fallend und für und . Des Weiteren ist:

.

Setze nun:

.

Mit der Stetigkeit des Logarithmus und dem bekannten Grenzwert folgt für :

,

wobei und gilt. erfüllt nun nach Konstruktion die Bedingungen des Kriteriums von Kummer. Aus Letzterem folgt für : .[1]

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Literatur

Einzelnachweise

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