Operator endlichen Ranges

Ein Operator endlichen Ranges oder endlichdimensionaler Operator ist ein mathematischer Begriff aus der Theorie der linearen Abbildungen.

Definition

Ein Operator endlichen Ranges ist eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen, so dass die Bildmenge ein endlichdimensionaler Vektorraum ist.^{[1.1][2][3.1]}

Ist ${\displaystyle F\colon V\rightarrow W}$ eine lineare Abbildung zwischen zwei ${\displaystyle K}$-Vektorräumen, so ist die Bildmenge ${\displaystyle \operatorname {Bild} (F):=\{F(v)\mid v\in V\}}$ ein Untervektorraum von ${\displaystyle W}$. ${\displaystyle F}$ hat also endlichen Rang, wenn dieser Untervektorraum ${\displaystyle F(V)}$ endlichdimensional ist. Hierbei kann ${\displaystyle K}$ ein beliebiger Körper sein. Bei Anwendungen, insbesondere in der Funktionalanalysis, hat man es meistens mit den Körpern ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$ der reellen beziehungsweise komplexen Zahlen zu tun.

Lineare Abbildungen nennt man oft auch lineare Operatoren. Die Dimension des Bildes nennt man den Rang des Operators. Das entspricht dem aus der linearen Algebra bekannten Rang einer Matrix, denn bezüglich einer Basis kann man eine Matrix ja als lineare Abbildung auffassen. Das erklärt die Bezeichnung Operator endlichen Ranges.

Beispiele

• Ist mit obigen Bezeichnungen ${\displaystyle W}$ endlichdimensional, so ist jeder lineare Operator ${\displaystyle F\colon V\rightarrow W}$ von endlichem Rang, denn ${\displaystyle \operatorname {Bild} (F)}$ muss als Untervektorraum ${\displaystyle W}$ ebenfalls endlichdimensional sein.
• Ist mit obigen Bezeichnungen ${\displaystyle V}$ endlichdimensional, so ist ebenfalls jeder lineare Operator ${\displaystyle F\colon V\rightarrow W}$ von endlichem Rang, denn ${\displaystyle \operatorname {Bild} (F)}$ kann keine größere Dimension als die von ${\displaystyle V}$ haben.
• Sind ${\displaystyle w_{1},\ldots w_{n}\in W}$ und sind ${\displaystyle f_{1},\ldots f_{n}\colon V\rightarrow K}$ lineare Funktionale, so ist

${\displaystyle F\colon V\rightarrow W,\quad v\mapsto \sum _{i=0}f_{i}(v)w_{i}}$

ein endlichdimensionaler Operator, denn ${\displaystyle \operatorname {Bild} (F)}$ ist definitionsgemäß in der linearen Hülle von ${\displaystyle w_{1},\ldots w_{n}}$ enthalten und daher endlichdimensional. Man kann zeigen, dass jeder endlichdimensionale Operator von dieser Form ist, sogar mit linear unabhängigen ${\displaystyle w_{1},\ldots w_{n}}$ (dabei wird der Nulloperator durch die leere Summe dargestellt). Sind die ${\displaystyle w_{i}}$ linear unabhängig, so sind die Koeffizientenfunktionale ${\displaystyle f_{i}}$ dadurch eindeutig bestimmt.^[1.2]

• Ist ${\displaystyle V}$ unendlichdimensional, so ist der identische Operator ${\displaystyle \operatorname {id} _{V}\colon V\rightarrow V}$ nicht von endlichem Rang, denn ${\displaystyle \operatorname {Bild} (F)=V}$ ist nicht endlichdimensional.

Eigenschaften

Stetigkeit

Hat man es mit ${\displaystyle \mathbb {R} }$- oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Vektorräumen mit einer hausdorffschen Vektorraumtopologie zu tun, so kann man die Frage nach der Stetigkeit stellen. Operatoren endlichen Ranges müssen nicht stetig sein, wie schon das Beispiel eines unstetigen linearen Funktionals zeigt. Ist ${\displaystyle F}$ ein endlichdimensionaler Operator der Form ${\displaystyle \textstyle v\mapsto \sum _{i=0}^{n}f_{i}(v)w_{i}}$ mit linear unabhängigen ${\displaystyle w_{i}}$, so ist ${\displaystyle F}$ genau dann stetig, wenn die Koeffizientenfunktionale ${\displaystyle f_{i}}$ stetig sind.^[1.3]

Kompaktheit

Stetige, endlichdimensionale Operatoren zwischen normierten Räumen sind kompakt,^[1.4][3.2] denn das Bild der Einheitskugel ist in einer Kugel eines endlichdimensionalen Raums enthalten und daher nach dem Satz von Heine-Borel relativ kompakt.

Idealeigenschaft

Summen und skalare Vielfache von Operatoren endlichen Ranges sind wieder von dieser Form. Die Menge der Operatoren endlichen Ranges zwischen zwei Vektorräumen bildet als einen Vektorraum. Hat man lineare Operatoren

${\displaystyle U\quad {\xrightarrow[{}]{F}}\quad V\quad {\xrightarrow[{}]{G}}\quad W}$

und ist einer von diesen endlichdimensional, so gilt das auch für ihre Komposition ${\displaystyle G\circ F}$. Die Menge ${\displaystyle {\mathcal {E}}(V)}$ der endlichdimensionalen Operatoren auf einem Vektorraum ${\displaystyle V}$ bildet daher ein Ideal in der Algebra aller linearen Operatoren auf ${\displaystyle V}$. Aus demselben Grunde bildet die Menge ${\displaystyle {\mathcal {F}}(V)}$ der endlichdimensionalen, stetigen Operatoren auf einem Banachraum ${\displaystyle V}$ ein Ideal in der Banachalgebra der beschränkten linearen Operatoren.^[1.5][3.3] Ist ${\displaystyle V}$ unendlichdimensional, so ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}(V)}$ nicht abgeschlossen in der Operatortopologie. Es ist im Ideal der Spurklasseoperatoren und daher auch im Ideal der kompakten Operatoren enthalten. Hat ${\displaystyle V}$ die Approximationseigenschaft, so liegt ${\displaystyle {\mathcal {F}}(V)}$ dicht im Ideal der kompakten Operatoren.

Dualität

Zu linearen Operatoren ${\displaystyle F\colon V\rightarrow W}$ kann man bekanntlich den dualen Operator ${\displaystyle F^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}}$ zwischen den Dualräumen bilden. Ist ${\displaystyle F}$ von endlichem Rang, so auch ${\displaystyle F^{*}}$.

Hat ${\displaystyle F}$ die Form

${\displaystyle F(v)=\sum _{i=0}^{n}f_{i}(v)w_{i}\quad {\text{mit}}\quad f_{i}\in V^{*},w_{i}\in W,}$

so hat der duale Operator ${\displaystyle F^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}}$ die Form

${\displaystyle F^{*}(g)=\sum _{i=0}^{n}{\hat {w_{i}}}(g)f_{i}\quad {\text{mit}}\quad f_{i}\in V^{*},w_{i}\in W,}$

wobei ${\displaystyle {\hat {w_{i}}}}$ das durch ${\displaystyle {\hat {w_{i}}}(g):=g(w_{i})}$ definierte lineare Funktional auf ${\displaystyle W^{*}}$ ist.^[1.6]

Hat man es mit ${\displaystyle \mathbb {R} }$- oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Vektorräumen mit einer hausdorffschen Vektorraumtopologie zu tun, so kann man zu stetigen, linearen Operatoren ${\displaystyle F\colon V\rightarrow W}$ den stetigen, dualen Operator ${\displaystyle F'\colon W'\rightarrow V'}$ bilden. Ist ${\displaystyle F}$ von endlichem Rang, so auch ${\displaystyle F'}$. Hat ${\displaystyle F}$ obige Form, so erhält man für ${\displaystyle F'}$ dieselbe Formel wie für ${\displaystyle F^{*}}$.^[1.6]

Tensorprodukte

Sind ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ normierte Räume, ${\displaystyle V'}$ der Dualraum von ${\displaystyle V}$, so ist die Abbildung

${\displaystyle V'\times W\rightarrow {\mathcal {F}}(V,W),\quad (f,w)\mapsto F_{(f,w)},{\text{wobei}}\quad F_{(f,w)}(v):=f(v)w}$

offenbar eine bilineare Abbildung, wobei ${\displaystyle {\mathcal {F}}(V,W)}$ der Raum der stetigen, linearen Operatoren endlichen Ranges ist. Die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts liefert einen Isomorphismus ${\displaystyle V'\otimes W\cong {\mathcal {F}}(V,W)}$.^[3.4][4] Der Raum der stetigen, linearen Operatoren endlichen Ranges kann also als Tensorprodukt geschrieben werden.