Perfekt normaler Raum

Perfekt normale Räume werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie untersucht. Es handelt sich um normale Räume, in denen jede abgeschlossene Menge eine zusätzliche Eigenschaft hat.

Definition

Ein normaler Hausdorffraum ${\displaystyle X}$ heißt perfekt normal, wenn jede abgeschlossene Menge eine G_δ-Menge ist.

Äquivalente Charakterisierungen

Folgende Aussagen über einen normalen Hausdorffraum ${\displaystyle X}$ sind äquivalent:^[1][2][3]

• ${\displaystyle X}$ ist perfekt normal
• Jede offene Menge in ${\displaystyle X}$ ist eine F_σ-Menge.
• Jede abgeschlossene Menge in ${\displaystyle X}$ ist Nullstellenmenge einer stetigen Funktion ${\displaystyle f\colon X\rightarrow [0,1]}$.
• Für je zwei disjunkte, abgeschlossene Mengen ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ gibt es eine stetige Funktion ${\displaystyle f\colon X\rightarrow [0,1]}$, so dass ${\displaystyle A=f^{-1}(\{0\})}$ und ${\displaystyle B=f^{-1}(\{1\})}$.

Die erste Äquivalenz ist sehr einfach, denn beim Übergang zu Komplementen werden abgeschlossene Mengen zu offenen und G_δ-Mengen zu F_σ-Mengen, und das gilt auch umgekehrt. Die Äquivalenz zu den beiden letzten Eigenschaften ist auch als Satz von Vedenissoff bekannt.^[2]

In einem normalen Raum gibt es nach dem Lemma von Urysohn zu je zwei disjunkten, abgeschlossenen Teilmengen ${\displaystyle A,B\subset X}$ eine stetige Funktion ${\displaystyle f\colon X\rightarrow [0,1]}$, so dass ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(\{0\})}$ und ${\displaystyle B\subseteq f^{-1}(\{1\})}$, und das ist sogar äquivalent zur Normalität. In der letzten der äquivalenten Aussagen ist also lediglich die Teilmengenbeziehung durch die stärkere Forderung nach Gleichheit ersetzt und man hat damit einen weiteren Unterschied zwischen normalen und perfekt normalen Räumen beschrieben.

Beispiele

• Metrische Räume sind perfekt normal, denn bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {dist} (x,A)}$ den metrischen Abstand eines Punktes ${\displaystyle x}$ zur Menge ${\displaystyle A}$, so ist jede abgeschlossene Menge ${\displaystyle A}$ wegen ${\displaystyle \textstyle A=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }\{x\mid \operatorname {dist} (x,A)<{\frac {1}{n}}\}}$ eine G_δ-Menge. Man kann das aber auch leicht mit Hilfe der Charakterisierung obiger Trennungseigenschaft durch stetige Funktionen erkennen. Sind nämlich ${\displaystyle A,B\subset X}$ nicht-leere, disjunkte, abgeschlossene Mengen, so leistet die stetige Funktion

${\displaystyle f\colon X\rightarrow [0,1],x\mapsto {\frac {\operatorname {dist} (x,A)}{\operatorname {dist} (x,A)+\operatorname {dist} (x,B)}}}$

das Verlangte. Ist eine der beiden Mengen leer, ohne Einschränkung ${\displaystyle A=\emptyset }$ und ${\displaystyle B\not =\emptyset }$, so nehme man ${\displaystyle \textstyle x\mapsto \max({\frac {1}{2}},1-\operatorname {dist} (x,B))}$, sind beide leer, so nehme man die konstante Funktion mit Wert ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$.

• Die Sorgenfrey-Gerade ist ein Beispiel eines perfekt normalen Raums, der nicht metrisierbar ist.
• Ist ${\displaystyle \omega _{1}}$ die erste überabzählbare Ordinalzahl, so ist das Ordinalzahlen-Intervall ${\displaystyle [0,\omega _{1}]}$ mit der Ordnungstopologie ein kompakter und daher normaler Hausdorffraum. Dieser Raum ist nicht perfekt normal, da ${\displaystyle \{\omega _{1}\}}$ keine G_δ-Menge ist.

• Der überabzählbare Fort-Raum ist ein weiteres Beispiel für einen normalen aber nicht perfekt normalen Raum.^[4]

Eigenschaften

• Perfekt normale Räume sind vollständig normal, das heißt, dass jeder Unterraum wieder normal ist.^[5] Die Umkehrung gilt nicht, wie das Beispiel des überabzählbaren Fort-Raums zeigt.
• Perfekt normale Räume sind total normal.^[6]
• Perfekt normale Räume sind abzählbar parakompakt.^[7]