Poisson-Algebra

Eine Poisson-Algebra ist in der Mathematik eine kommutative, assoziative Algebra, welche mit einer Poisson-Klammer ausgestattet ist. Die Klammer ist eine Lie-Klammer, welche zusätzlich die Leibnizregel erfüllt, das heißt sie ist eine Derivation der assoziativen Multiplikation.

Poisson-Algebra

Sei ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring. Eine Poisson-Algebra ${\displaystyle A}$ ist eine kommutative, assoziative ${\displaystyle R}$-Algebra ${\displaystyle (A,\cdot )}$ mit einer ${\displaystyle R}$-bilinearen und antisymmetrischen Abbildung

${\displaystyle \{-,-\}:A\times A\to A}$,

genannt Poisson-Klammer, so dass

• ${\displaystyle (A,\{-,-\})}$ eine Lie-Algebra über ${\displaystyle R}$ ist,
• die Poisson-Klammer die Leibnizregel erfüllt

${\displaystyle \{f,g\cdot h\}=\{f,g\}\cdot h+g\cdot \{f,h\}}$.^[1]

Die Striche in der leeren Poisson-Klammer ${\displaystyle \{-,-\}}$ stehen dabei für einen Platzhalter.

Erläuterungen

Der ${\displaystyle R}$-Modul ${\displaystyle A}$ ist mit zwei ${\displaystyle R}$-bilinearen Abbildungen ausgestattet, der Multiplikation ${\displaystyle \cdot \colon A\times A\to A}$ und der Poisson-Klammer ${\displaystyle \{-,-\}\colon A\times A\to A}$.

Für die Multiplikation ${\displaystyle \cdot }$ und ${\displaystyle f,g,h\in A}$ gilt

Kommutativität: ${\displaystyle f\cdot g=g\cdot f}$

Assoziativität: ${\displaystyle f\cdot (g\cdot h)=(f\cdot g)\cdot h}$

Für die Poisson-Klammer ${\displaystyle \{-,-\}}$ und ${\displaystyle f,g,h\in A}$ gilt

Antisymmetrie: ${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$ und ${\displaystyle \{f,f\}=0}$

Leibnizregel: ${\displaystyle \{f,g\cdot h\}=\{f,g\}\cdot h+g\cdot \{f,h\}}$

Jacobi-Identität: ${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}=\{\{f,g\},h\}+\{g,\{f,h\}\}}$

Für ein ${\displaystyle f\in A}$ ist die Poisson-Klammer ${\displaystyle D_{f}(-):=\{f,-\}}$ eine Derivation der Multiplikation, denn es gilt nach den Regeln

${\displaystyle D_{f}(g\cdot h)=\{f,g\cdot h\}=\{f,g\}\cdot h+g\cdot \{f,h\}=D_{f}(g)\cdot h+g\cdot D_{f}(h).}$

Poisson-*-Algebra

Falls ${\displaystyle A}$ eine Poisson-Algebra über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist, die zusätzlich eine *-Algebra ist und für ${\displaystyle \{-,-\}}$ folgendes

${\displaystyle {\overline {\{f,g\}}}=\{{\overline {f}},{\overline {g}}\}}$

erfüllt, so nennt man ${\displaystyle A}$ eine Poisson-*-Algebra.^[2]

Beispiele

• Sei ${\displaystyle M}$ eine Poisson-Mannigfaltigkeit mit der Poisson-Klammer ${\displaystyle \{-,-\}}$ auf dem Raum der glatten Funktionen ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$, dann ist das Paar ${\displaystyle (C^{\infty }(M),\{-,-\})}$ eine Poisson-Algebra.

Literatur

• Stefan Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6.
• Chiara Esposito: Formality Theory. Springer Verlag, 2015, ISBN 978-3-319-09289-8.

Weblinks

• Poisson-Algebra in der Encyclopedia of Mathematics