Projektive Basis

Eine projektive Basis ist in der Mathematik eine Menge von ${\displaystyle n+2}$ Punkten eines ${\displaystyle n}$-dimensionalen projektiven Raums, von denen je ${\displaystyle n+1}$ projektiv unabhängig sind. Projektive Basen werden in der projektiven Geometrie zur Charakterisierung von Projektivitäten und zur Definition projektiver Koordinaten verwendet.

In der projektiven Ebene bilden vier projektiv unabhängige Punkte eine projektive Basis

Definition

Ein ${\displaystyle (n+1)}$-Tupel ${\displaystyle (P_{0},\ldots P_{n})}$ von Punkten eines projektiven Raums ${\displaystyle P(V)}$ über einem ${\displaystyle K}$-Vektorraum ${\displaystyle V}$ heißt projektiv unabhängig, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen zutrifft:

• Es gibt linear unabhängige Vektoren ${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{n}\in V}$ mit ${\displaystyle P_{i}=K\,v_{i}}$ für ${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$.
• Jedes ${\displaystyle (n+1)}$-Tupel ${\displaystyle (v_{0},\ldots ,v_{n})}$ von Vektoren aus ${\displaystyle V}$ mit ${\displaystyle P_{i}=K\,v_{i}}$ für ${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$ ist linear unabhängig.
• Für die Dimension des Verbindungsraums der Punkte gilt ${\displaystyle \dim(P_{0}\vee P_{1}\vee \ldots \vee P_{n})=n}$.

Ein ${\displaystyle (n+2)}$-Tupel ${\displaystyle (P_{0},\ldots P_{n+1})}$ von Punkten eines projektiven Raums heißt projektive Basis des Raums, wenn je ${\displaystyle n+1}$ Punkte projektiv unabhängig sind. Es gilt dann ${\displaystyle \dim P(V)=n}$.^[1]

Spezialfälle

• ${\displaystyle n=1}$: drei Punkte auf einer projektiven Geraden bilden genau dann eine projektive Basis, wenn sie paarweise verschieden sind.
• ${\displaystyle n=2}$: vier Punkte auf einer projektiven Ebene bilden genau dann eine projektive Basis, wenn keine drei davon auf einer Geraden liegen. Die vier Punkte bestimmen also ein vollständiges Viereck.
• ${\displaystyle n=3}$: fünf Punkte in einem dreidimensionalen projektiven Raum bilden genau dann eine projektive Basis, wenn keine vier davon in einer Ebene liegen.

Projektive Standardbasis

Die projektive Standardbasis ${\displaystyle (E_{0},\ldots ,E_{n+1})}$ im projektiven Standardraum ${\displaystyle KP^{n}}$ besteht aus den von den Standard-Basisvektoren ${\displaystyle e_{0},\ldots ,e_{n}}$ des Koordinatenraums ${\displaystyle K^{n+1}}$ erzeugten Punkten

${\displaystyle E_{i}=K\,e_{i},~i=0,\ldots ,n}$,

zusammen mit dem Einheitspunkt

${\displaystyle E_{n+1}=K\,\left(e_{0}+\ldots +e_{n}\right)}$.^[2]

In homogenen Koordinaten ergeben sich beispielsweise folgende projektiven Standardbasen:

• In der projektiven Gerade ${\displaystyle KP^{1}}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ bilden die ${\displaystyle 3}$ Punkte ${\displaystyle \left[1:0\right],\left[0:1\right]}$ und ${\displaystyle \left[1:1\right]}$ die projektive Standardbasis.
• In der projektiven Ebene ${\displaystyle KP^{2}}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ bilden die ${\displaystyle 4}$ Punkte ${\displaystyle \left[1:0:0\right],\left[0:1:0\right],\left[0:0:1\right]}$ und ${\displaystyle \left[1:1:1\right]}$ die projektive Standardbasis.

${\displaystyle \ldots }$

• Im ${\displaystyle n}$-dimensionalen projektiven Raum ${\displaystyle KP^{n}}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ bilden die ${\displaystyle n+2}$ Punkte ${\displaystyle \left[1:0:\ldots :0\right],\left[0:1:\ldots :0\right],\ldots ,\left[0:0:\ldots :1\right]}$ und ${\displaystyle \left[1:1:\ldots :1\right]}$ die projektive Standardbasis.

Verwendung

Ist ${\displaystyle (P_{0},\ldots ,P_{n+1})}$ eine beliebige projektive Basis eines projektiven Raums ${\displaystyle P(V)}$, dann gibt es eine Basis ${\displaystyle (v_{0},\ldots ,v_{n})}$ von ${\displaystyle V}$, sodass

${\displaystyle P_{0}=K\,v_{0},\ldots ,P_{n}=K\,v_{n}~{\text{und}}~P_{n+1}=K\,\left(v_{0}+\ldots +v_{n}\right)}$

gilt.^[2] Sind nun ${\displaystyle P(V)}$ und ${\displaystyle P(W)}$ zwei projektive Räume gleicher Dimension mit projektiven Basen ${\displaystyle (P_{0},\ldots ,P_{n+1})}$ und ${\displaystyle (Q_{0},\ldots ,Q_{n+1})}$, dann gibt es genau eine projektive Abbildung ${\displaystyle f\colon P(V)\to P(W)}$, sodass

${\displaystyle f(P_{i})=Q_{i}}$

für ${\displaystyle i=0,\ldots ,n+1}$ gilt.^[2] Demnach ist eine projektive Abbildung zwischen projektiven Räumen gleicher Dimension durch Angabe der Bilder der projektiven Basispunkte eindeutig charakterisiert. Solche Abbildungen lassen sich daher durch Matrizen der Größe ${\displaystyle (n+1)\times (n+1)}$ beschreiben. Weiter lassen sich in einem projektiven Raum ${\displaystyle P(V)}$ mit der projektiven Basis ${\displaystyle (P_{0},\ldots ,P_{n+1})}$ mit Hilfe der projektiven Abbildung

${\displaystyle KP^{n}\to P(V),E_{i}\mapsto P_{i}~{\text{für}}~i=0,\ldots ,n+1}$

homogene projektive Koordinaten definieren.^[3]

Literatur

• Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2013, ISBN 978-3-322-96417-5, S. 142.