Quaternionisch-hyperbolischer Raum

Der quaternionisch-hyperbolische Raum ist in der Mathematik ein mit Hilfe von Quaternionen definierter negativ gekrümmter symmetrischer Raum.

Definition

Seien ${\displaystyle \mathbb {H} }$ die Quaternionen und sei ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n,1}}$ der ${\displaystyle \mathbb {H} }$-Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}}$ mit der Quaternionisch-hermiteschen Form

${\displaystyle \langle U,V\rangle =-u_{n+1}{\overline {v}}_{n+1}+\sum _{j=1}^{n}u_{j}{\overline {v}}_{j}}$

für ${\displaystyle U=(u_{1},\ldots ,u_{n+1}),V=(v_{1},\ldots ,v_{n+1})}$. (Hierbei ist die quaternionische Konjugation definiert durch ${\displaystyle {\overline {a+bi+cj+dk}}:=a-bi-cj-dk}$ für reelle Zahlen a,b,c,d.)

Der n-dimensionale quaternionisch-hyperbolische Raum ${\displaystyle \mathbb {H} H^{n}}$ ist

${\displaystyle \mathbb {H} H^{n}=\left\{X\in \mathbb {H} ^{n,1}:\langle X,X\rangle =-1\right\}}$

mit der von der Hermiteschen Form ${\displaystyle \langle .,.\rangle }$ induzierten Riemannschen Metrik.

Siegel-Modell

Eine äquivalente Definition erhält man mit dem Siegel-Modell.^[1] Hier benutzt man die quaternionisch-hermitesche Form ${\displaystyle \langle U,V\rangle ={\overline {u}}_{1}v_{n+1}+{\overline {u}}_{2}v_{2}+\ldots +{\overline {u}}_{n}v_{n}+{\overline {u}}_{n+1}v_{1}}$, betrachtet das Bild von ${\displaystyle V_{-}:=\left\{U\in \mathbb {H} ^{n+1}:\langle U,U\rangle <0\right\}}$ unter der Projektion auf den projektiven Raum ${\displaystyle \pi$ :\mathbb {H} ^{n+1}\rightarrow P\mathbb {H} ^{n}} und definiert ${\displaystyle \mathbb {H} H^{n}:=\pi (V_{-})\subset P\mathbb {H} ^{n}}$.

Geometrie

${\displaystyle \mathbb {H} H^{n}}$ ist ein symmetrischer Raum vom Rang 1.

Für die Schnittkrümmung von Ebenen im ${\displaystyle \mathbb {H} H^{n}}$ gilt die Ungleichung ${\displaystyle -4\leq K\leq -1}$. Ebenen in ${\displaystyle \mathbb {R} H^{n}\subset \mathbb {H} H^{n}}$ haben Schnittkrümmung ${\displaystyle -1}$, während die Ebene ${\displaystyle \mathbb {C} H^{1}\subset \mathbb {H} H^{1}\subset \mathbb {H} H^{n}}$ die Schnittkrümmung ${\displaystyle -4}$ hat.

Isometrien und Quasi-Isometrien

Die Isometriegruppe des ${\displaystyle \mathbb {H} H^{n}}$ ist ${\displaystyle PSp(n,1)=Sp(n,1)/\left\{\pm 1\right\}}$, dabei ist ${\displaystyle Sp(n,1)}$ die Lie-Gruppe

${\displaystyle Sp(n,1)=\left\{A\in GL(n+1,\mathbb {H} ):\langle AU,AV\rangle =\langle U,V\rangle \forall U,V\in \mathbb {H} ^{n,1}\right\}=GL(n+1,\mathbb {H} )\cap U(2n,2)}$.

Alle Quasi-Isometrien des ${\displaystyle \mathbb {H} H^{n}}$ haben endlichen Abstand von einer Isometrie.^[2]

Quaternionisch-hyperbolische Mannigfaltigkeiten

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt quaternionisch-hyperbolisch, wenn ihre universelle Überlagerung isometrisch zum ${\displaystyle \mathbb {H} H^{n}}$ ist.

Weblinks

• Jean-François Quint: An overview of Patterson-Sullivan theory pdf
• Gongopadhyay, Parsad: Classification of quaternionic hyperbolic isometries pdf