Seiberg-Witten-Modulraum

Der Seiberg-Witten-Modulraum (kurz SW-Modulraum, auch Monopol-Modulraum) ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie der Modulraum der Seiberg-Witten-Gleichungen, also der Raum ihrer Lösungen bis auf Eichungen. Benutzt wird dieser für die Definition der Seiberg-Witten-Invarianten, welche beim Studium vierdimensionaler glatter Mannigfaltigkeiten (kurz 4-Mannigfaltigkeiten) verwendet werden. Eine sehr nützliche Eigenschaft des Seiberg-Witten-Modulraumes ist, dass dieser immer kompakt ist, was eine Verbesserung gegenüber dem zuvor benutzen Yang-Mills-Modulraum ist und zur Vereinfachung der Herleitung vieler Resultate aus der Donaldson-Theorie führte. Benannt ist der Seiberg-Witten-Modulraum nach Nathan Seiberg und Edward Witten, die die zugrundeliegenden Seiberg-Witten-Gleichungen im Jahr 1994 eingeführt haben.

Grundlagen

Sei ${\displaystyle M}$ eine kompakte orientierbare Riemannsche 4-Mannigfaltigkeit mit Riemannscher Metrik ${\displaystyle g\in \Gamma ^{\infty }(S^{2}T^{*}M)}$ und Spinᶜ-Struktur ${\displaystyle {\mathfrak {s}}\colon M\rightarrow \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(4)}$. Wegen des exeptionellen Isomorphismus:^[1]

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(4)\cong \operatorname {U} (2)\times _{\operatorname {U} (1)}\operatorname {U} (2)=\{U^{\pm }\in \operatorname {U} (2)|\det(U^{-})=\det(U^{+})\}}$

besteht die Spinᶜ-Struktur ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ aus zwei komplexen Ebenenbündeln ${\displaystyle W^{\pm }\twoheadrightarrow M}$, genannt assoziierte Spinorbündel (deren Schnitte (anti)-selbstduale Spinoren genannt werden), mit gleichem Determinantenbündel ${\displaystyle L=\det(W^{\pm })\twoheadrightarrow M}$. Da das Determinantenbündel die erste Chern-Klasse erhält, haben alle Vektorbündel die gleiche erste Chern-Klasse ${\displaystyle c_{1}({\mathfrak {s}}):=c_{1}(L)=c_{1}(W^{\pm })}$ mit ${\displaystyle c_{1}({\mathfrak {s}})\operatorname {mod} 2=w_{2}(M)}$.^[1] Für eine Fundamentalklasse ${\displaystyle [M]_{\mathbb {Z} }\in H^{4}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$ und ihre Reduktion ${\displaystyle [M]_{\mathbb {Z} _{2}}:=[M]_{\mathbb {Z} }\operatorname {mod} 2\in H^{4}(M,\mathbb {Z} _{2})\cong \mathbb {Z} _{2}}$ gilt damit:

${\displaystyle c_{1}^{2}({\mathfrak {s}})[M]_{\mathbb {Z} }\operatorname {mod} 2=w_{2}^{2}(M)[M]_{\mathbb {Z} _{2}}=\sigma (M)\operatorname {mod} 2,}$

daher ist ${\displaystyle c_{1}^{2}({\mathfrak {s}})[M]_{\mathbb {Z} }-\sigma (M)}$ immer gerade.

Sei ${\displaystyle \Omega _{+}^{2}(X)}$ der Raum der selbstdualen Differentialformen mit ${\displaystyle \star \eta =\eta }$ und sei ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{+}^{2}(X)}$ der Untervektorraum der zusätzlich harmonischen Differentialformen mit ${\displaystyle \Delta \eta =0}$. Sei ${\displaystyle b_{+}(X)=\dim {\mathcal {H}}_{+}^{2}(X)}$ die selbstduale Betti-Zahl, dann gibt es einen Untervektorraum ${\displaystyle \Pi <\Omega _{+}^{2}(X)}$ mit ${\displaystyle \operatorname {codim} \Pi =b_{+}(X)}$ (mithilfe der Hodge-Zerlegung), sodass eine selbstduale Form ${\displaystyle \eta \in \Omega _{+}^{2}(X)}$ der selbstduale Anteil der Krümmungsform eines Zusammenhangs ${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(X)}$, also mit:

${\displaystyle \eta =F_{A}^{+}={\frac {1}{2}}(\star \mathrm {d} A+\mathrm {d} A)}$

ist, genau dann wenn ${\displaystyle \eta \in \Pi }$. Sowohl der Untervektorraum als auch dieses Resultat spielen eine zentrale Rolle, da wegen diesen die Seiberg-Witten-Gleichungen mit einer selbstdualen Form gestört werden, bevor deren Modulraum betrachtet wird. Beide sorgen auch für topologischen Obstruktionen da es für ${\displaystyle b_{+}(X)=0}$ kein Komplement gibt oder dieses für ${\displaystyle b_{+}(X)=1}$ nicht zusammenhängend ist.

Sei ${\displaystyle \Omega _{-}^{2}(X)}$ der analoge Raum der antiselbstdualen Differentialformen mit ${\displaystyle \star \eta =-\eta }$ und ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{-}^{2}(M)}$ der analoge Untervektorraum der zusätzlich harmonischen Differentialformen mit ${\displaystyle \Delta \eta =0}$. Sei ${\displaystyle b_{-}(M)=\dim {\mathcal {H}}_{-}^{2}(M)}$ die antiselbstduale Betti-Zahl, dann können die zweite Betti-Zahl (mit ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}(M)={\mathcal {H}}_{-}^{2}(M)\oplus {\mathcal {H}}_{+}^{2}(M)}$) und die Signatur ausgedrückt werden durch:

${\displaystyle b_{2}(M)=b_{+}(M)+b_{-}(M);}$

${\displaystyle \sigma (M)=b_{+}(M)-b_{-}(M).}$

Beide Formeln, welche später benutzt werden um die Dimension des Modulraumes zu berechnen, können auch umgekehrt werden:

${\displaystyle b_{+}(M)={\frac {1}{2}}(b_{2}(M)+\sigma (M));}$

${\displaystyle b_{-}(M)={\frac {1}{2}}(b_{2}(M)-\sigma (M)).}$

Konfigurationsraum

Es ist hilfreich, zunächst den Raum aller möglichen Lösungen zu betrachten. Da der Raum der Zusammenhänge auf dem komplexen Linienbündel ${\displaystyle L}$ ein affiner Vektorraum ist, ist es sinnvoll erst einen solchen Zusammenhang ${\displaystyle d_{A}}$ zu wählen und dann jeden anderen als Verschiebung durch eine Form ${\displaystyle ia\in \Omega ^{1}(M,{\mathfrak {u}}(1))}$ mit ${\displaystyle a\in \Omega ^{1}(M)}$ wegen ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)\cong i\mathbb {R} }$ darzustellen. Selbstduale Spinoren bilden ebenfalls einen Vektorraum mit dem Nullschnitt als kanonischem Zentrum. Es seien der Konfigurationsraum und der reduzierte Konfigurationsraum definiert als:^[2]

${\displaystyle {\mathcal {A}}:=\{(\mathrm {d} _{A}-ia,\psi )|a\in \Omega ^{1}(M),\psi \in \Gamma ^{\infty }(W^{+})\};}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}:=\{(\mathrm {d} _{A}-ia,\psi )\in {\mathcal {A}}|\psi \neq 0\}.}$

Da der reduzierte Konfigurationsraum ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$ ein unendlichdimensionaler Vektorraum ohne einen einzigen Punkt und daher homotopieäquivalent zur unendlichdimensionalen Sphäre, ist dieser auch zusammenziehbar.

Obwohl die Definition des reduzierten Konfigurationsraumes ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$ vor allem von der Wirkung der Eichgruppe weiter unten motiviert ist, sind die ausgeschlossenen Fälle doch bereits wichtig in den Seiberg-Witten-Gleichungen selbst, welche sich dabei auf die selbstdualen Yang-Mills-Gleichungen reduzieren.

Eichgruppe

Glatte Abbildungen ${\displaystyle g\colon M\rightarrow \operatorname {U} (1)}$ wirken auf den Elementen des Konfigurationsraumes durch:^[3][2]

${\displaystyle g\cdot (\mathrm {d} _{A}-ia,\psi )=(\mathrm {d} _{A}-ia+g\mathrm {d} (g^{-1}),g\psi ).}$

Dadurch die die Eichgruppe gegeben durch:^[3][2]

${\displaystyle {\mathcal {G}}:=C^{\infty }(M,\operatorname {U} (1)).}$

Da die erste unitäre Gruppe ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ der Eilenberg-MacLane-Raum ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$ ist, welcher singuläre Kohomologie darstellt, ergibt sich mit dem universellen Koeffizientensatz und dem Hurewicz-Theorem:

${\displaystyle [M,\operatorname {U} (1)]=[M,K(\mathbb {Z} ,1)]=H^{1}(M,\mathbb {Z} )\cong \operatorname {Hom} (H_{1}(M,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} )=\operatorname {Hom} (\pi _{1}(M)^{\mathrm {ab} },\mathbb {Z} ).}$

Für ${\displaystyle M}$ einfach zusammenhängend oder allgemeiner wenn dessen Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ perfekt ist, ist jede Eichung nullhomotop und hat daher einen globalen Logarithmus, weshalb also für alle glatten Abbildungen ${\displaystyle g\colon M\rightarrow \operatorname {U} (1)}$ there eine glatte Abbildung ${\displaystyle u\colon M\rightarrow \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle g=e^{iu}}$ existiert. In diesem Fall vereinfacht sich die Wirkung auf den Konfigurationsraum zu:^[2]

${\displaystyle e^{iu}\cdot (\mathrm {d} _{A}-ia,\psi )=(\mathrm {d} _{A}-i(a+\mathrm {d} u),e^{iu}\psi ).}$

Für einen Basispunkt ${\displaystyle x_{0}\in M}$, kann die Eichgruppe mit der basierten Eichgruppe als Produkt ausgedrückt werden mit:

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}:=\{g\in {\mathcal {G}}|g(x_{0})=1\};}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {G}}_{0}\times \operatorname {U} (1).}$

Wie das Produkt zeigt ist die Eichgruppe ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ nicht zusammenziehbar. Aber wie das Argument weiter oben zeigt ist für ${\displaystyle M}$ einfach zusammenhängend die basierte Eichgruppe ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$ zusammenziehbar.

Modulraum

Da sowohl die Eichgruppe ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ als auch ihre Untergruppe, die basierte Eichgruppe ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$, auf dem Konfigurationsraum ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ und dessen Unterraum, dem reduzierten Konfigurationsraum ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$, wirken, gibt es Orbiträume:^[4][5][6][2]

${\displaystyle {\mathcal {B}}:={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}};}$

${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}:={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}_{0};}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{*}:={\mathcal {A}}^{*}/{\mathcal {G}};}$

${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}^{*}:={\mathcal {A}}^{*}/{\mathcal {G}}_{0}.}$

Wie die Formel der Gruppenwirkung weiter oben zeigt, wirkt die Eichgruppe ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ nicht frei auf dem Konfigurationsraum ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, da die Punkte mit verschwindendem selbstdualen Spinorfeld ${\displaystyle \psi =0}$ invariant unter allen konstanten Eichungen ${\displaystyle g=\mathrm {const} }$ sind. Doch dieser wirkt daher frei auf dem reduzierten Konfigurationsraum ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$ und die basierte Eichgruppe ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$ wirkt sogar frei auf beiden. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ hat daher Singularitäten, während die anderen Räume keine haben. Wenn ${\displaystyle M}$ einfach zusammenhängend ist, dann kann ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}}$ darüber hinaus mit einem Untervektorraum des Konfigurationsraumes ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ identifiziert werden durch:^[2]

${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}\cong \{(\mathrm {d} _{A}-ia,\psi )\in {\mathcal {A}}|\delta a=a\}.}$

Äquivalent gibt es für jedes ${\displaystyle a\in \Omega ^{1}(M)}$ eine eindeutige glatte Abbildung ${\displaystyle u\colon M\rightarrow \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle \delta (a+\mathrm {d} u)=\delta a+\Delta u=0}$, was wieder mithilfe der Hodge-Zerlegung ${\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} )={\mathcal {H}}_{0}(M)\oplus \delta \Omega ^{1}(M)}$ mit ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}(M)}$ den konstanten Abbildungen für ${\displaystyle M}$ zusammenhängend gezeigt werden kann.^[2]

Obwohl die kanonische Projektion ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ wegen der Singularitäten nicht einmal ein Faserbündel sein muss, ist die kanonische Projektion ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}^{*}\rightarrow {\mathcal {B}}^{*}}$ nach einer geeigneten Sobolev-Vervollständigung ein U(1)-Hauptfaserbündel. Für ${\displaystyle M}$ einfach zusammenhängend ist ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}^{*}}$ zusammenziehbar, da ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$ es immer ist und ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$ es in diesem Fall wie zuvor begründet. Mit der langen exakten Sequenz der Homotopiegruppen des ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündels ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}^{*}\rightarrow {\mathcal {B}}^{*}}$ folgt, dass ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{*}}$ ein Eilenberg-MacLane-Raum ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ ist (da ${\displaystyle S^{1}}$ ein ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$ ist) und da der unendliche komplexe projektiven Raum ${\displaystyle \mathbb {C} P^{\infty }}$ ebenfalls einer ist, gibt es eine schwache Homotopieäquivalenz ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{*}\rightarrow \mathbb {C} P^{\infty }}$.^[7] Homotopieklassen solcher Abbildungen werden klassifiziert durch ${\displaystyle [K(\mathbb {Z} ,2),K(\mathbb {Z} ,2)]\cong \mathbb {Z} }$ und die schwache Homotopieäquivalenz muss dabei einem Generator ${\displaystyle \pm 1\in \mathbb {Z} }$ entsprechen. Doch das ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel entspricht ebenfalls bijektiv der Homotopieklassen einer klassifizierenden Abbildung ${\displaystyle f\colon {\mathcal {B}}^{*}\rightarrow \operatorname {BU} (1)\cong \mathbb {C} P^{\infty }}$ mit ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}^{*}\cong f^{*}\operatorname {EU} (1)\cong f^{*}S^{\infty }}$. Diese fällt unter die exakt gleiche Klassifikation, entspricht jedoch nicht unbedingt einem Generator. Es ist genau die erste Chern-Klasse ${\displaystyle c_{1}({\mathcal {B}})\in H^{2}({\mathcal {B}}^{*},\mathbb {Z} )\in \mathbb {Z} }$ des ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündels, doch die gestörten Seiberg-Witten-Gleichungen müssen für eine Verwendung für die Seiberg-Witten-Invarianten eingehen. Deren Modulräume sind dann gegeben durch die folgenden Unterräume an Lösungen:^[3][7]

${\displaystyle {\mathcal {M}}:=\{[\mathrm {d} _{A}-ia,\psi ]\in {\mathcal {B}}|(\mathrm {d} _{A}-ia,\psi )\;{\text{erfüllen die SW-Gl.}}\};}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\eta }:=\{(\mathrm {d} _{A}-ia,\psi )\in {\mathcal {B}}|(\mathrm {d} _{A}-ia,\psi )\;{\text{erfüllen die gSW-Gl. mit St.}}\;\eta \};}$

${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {M}}}_{\eta }:=\{(\mathrm {d} _{A}-ia,\psi )\in {\widetilde {\mathcal {B}}}|(\mathrm {d} _{A}-ia,\psi )\;{\text{erfüllen die gSW-Gl. mit St.}}\;\eta \}.}$

Mit der kanonischen Projektion ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ gibt es ebenfalls eine kanonische Projektion ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {M}}}_{\eta }\rightarrow {\mathcal {M}}_{\eta }}$. Da die vordere kein Faserbündel ist, scheint es als sei die hintere es ebenso nicht. Doch das ist nicht unbedingt der Fall und genau der Grund, warum die Seiberg-Witten-Gleichungen mit einer Störung betrachtet werden. Dafür ist die selbstduale Betti-Zahl entscheidend:

• Ist ${\displaystyle b_{+}(M)\geq 1}$, dann zwingt eine Störung ${\displaystyle \eta \in \Omega _{+}^{2}(M)\setminus \Pi \neq \emptyset }$ die Lösungen der gestörten Seiberg-Witten-Gleichungen ${\displaystyle \psi =0}$ die Gleichung ${\displaystyle F_{A}^{+}=\eta }$ zu erfüllen, was wegen ${\displaystyle \eta \notin \Pi }$ nicht möglich ist. Daher vermeiden beide gestörten Modulräume alle Singularitäten und ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {M}}}_{\eta }\rightarrow {\mathcal {M}}_{\eta }}$ wird ein ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Unterhauptfaserbündel von ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {B}}}^{*}\rightarrow {\mathcal {B}}^{*}}$ mit erster Chern-Klasse ${\displaystyle c_{1}({\widetilde {\mathcal {M}}}_{\eta })\in H^{2}({\mathcal {M}}_{\eta },\mathbb {Z} )}$, welche dann zur Definition der Seiberg-Witten-Invariante benutzt wird.
• Ist ${\displaystyle b_{+}(M)\geq 2}$, dann werden zwei beliebige Störungen ${\displaystyle \eta _{0},\eta _{1}\in \Omega _{+}^{2}(M)\setminus \Pi \neq \emptyset }$ durch einen glatten Weg ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\rightarrow \Omega _{+}^{2}(M)\setminus \Pi }$ mit ${\displaystyle \gamma (0)=\eta _{0}}$ und ${\displaystyle \gamma (1)=\eta _{1}}$ verbunden, welcher einen Bordismus ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {M}}}_{\eta _{0}}\rightarrow {\widetilde {\mathcal {M}}}_{\eta _{1}}}$ beschreibt. Daher ergeben alle Störungen die gleiche Bordismusklasse.^[8] (Ist ${\displaystyle b_{+}(M)=1}$, dann muss eine Zusammenhangskomponente von ${\displaystyle \Omega _{+}^{2}(M)\setminus \Pi }$ gewählt werden, welche auf zwei verschiedene Bordismenklassen führen kann.)

Für die Seiberg-Witten-Invariante, welche eine spezielle Chern-Zahl ist, wird die nötige Anzahl an Cup-Produkten der ersten Chern-Klasse ${\displaystyle c_{1}({\widetilde {\mathcal {M}}}_{\eta })\in H^{2}({\mathcal {M}}_{\eta },\mathbb {Z} )}$ mit sich selbst genommen und mit der Kronecker-Paarung gegen die Fundamentalklasse${\displaystyle [{\mathcal {M}}_{\eta }]\in H_{\dim {\mathcal {M}}_{\eta }}({\mathcal {M}}_{\eta },\mathbb {Z} )}$ des Modulraumes ausgewertet. Da die Chern-Klasse geraden Grades ist, muss der Modulraum eine gerade Dimension haben, damit das funktioniert und diese muss zudem für die Anzahl der Cup-Produkte genau bekannt sein. Zuerst kann diese mit dem Index des Dirac-Operators verbunden werden und der Atiyah-Singer-Indexsatz angewendet werden, wodurch sich Formeln mit der Euler-Charakteristik und der Signatur ergeben:

• Sei ${\displaystyle M}$ einfach zusammenhängend. Ist ${\displaystyle \operatorname {ind} (D_{A}^{+})>0}$ für ${\displaystyle b_{+}(M)=0}$ oder ${\displaystyle b_{+}(M)>0}$, dann ist ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\eta }}$ eine orientierbare glatte Mannigfaltigkeit mit Dimension:^{[9][10][11][12][13]}

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{\eta }=2\operatorname {ind} (D_{A}^{+})-b_{+}(M)-1={\frac {1}{4}}(c_{1}^{2}({\mathfrak {s}})[M]-2\chi (M)-3\sigma (M)).}$

Whrend der erste Ausdruck offensichtlich eine ganze Zahl ist, ist es schwerer für den zweiten Ausdruck zu sehen. Doch wie in den Grundlagen gezeigt ist ${\displaystyle c_{1}^{2}({\mathfrak {s}})[M]_{\mathbb {Z} }-\sigma (M)}$ immer gerade, weshalb zumindest den Term in Klammern bereits gerade macht.

• Sei ${\displaystyle M}$ einfach zusammenhängend. Ist ${\displaystyle b_{+}(M)>0}$, dann ist ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {M}}}_{\eta }}$ eine kompakte^[14] orientierbare glatte Mannigfaltigkeit mit Dimension:^[15]

${\displaystyle \dim {\widetilde {\mathcal {M}}}_{\eta }=2\operatorname {ind} (D_{A}^{+})-b_{+}(M)={\frac {1}{4}}(c_{1}^{2}({\mathfrak {s}})[M]-2\chi (M)-3\sigma (M))+1.}$

(Einige Literatur nutzt ebenfalls die Konvention ${\displaystyle L^{2}=\det(W^{\pm })}$ da es tatsächlich das Quadrat eines Linienbündels ist, wodurch in den Formeln kein Vorfaktor vor den Chern-Klassen auftaucht.) Für ${\displaystyle b_{+}(M)}$ ungerade ist ${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{\eta }}$ daher gerade und die Seiberg-Witten-Invarianten, welche unabhängig von der Riemannschen Metrik ${\displaystyle g}$ und der Störung ${\displaystyle \eta }$ sind^[16] wie zuvor für hinteres argumentiert, können dann definiert werden als:^{[17][18][19][20]}

${\displaystyle \operatorname {SW} (M,{\mathfrak {s}}):=\langle c_{1}({\widetilde {\mathcal {M}}}_{\eta })^{\frac {\dim {\mathcal {M}}_{\eta }}{2}},[{\mathcal {M}}_{\eta }]\rangle \in \mathbb {Z} .}$

Siehe auch

• Modulraum von Monopolen

Literatur

• Simon K. Donaldson: The Seiberg-Witten equations and 4-manifold topology. In: Bulletin of the American Mathematical Society (= (N.S.)). 33. Jahrgang, Nr. 1, 1996, S. 45–70, doi:10.1090/S0273-0979-96-00625-8.
• Liviu I. Nicolaescu: Notes on Seiberg-Witten Theory (= Graduate Studies in Mathematics. Band 28). American Mathematical Society, University of Notre Dame 2000, ISBN 978-0-8218-2145-9, doi:10.1090/gsm/028 (englisch, nd.edu [PDF]).
• Tim Perutz: Basics of Seiberg-Witten theory. In: www.imperial.ac.uk. Mai 2002, abgerufen am 19. August 2025 (englisch).
• Peter Kronheimer und Tomasz Mrowka: Monopoles and Three-Manifolds. Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88022-0.
• John Douglas Moore: Lecture Notes on Seiberg-Witten Invariants (Revised Second Edition). In: web.math.ucsb.edu. Juli 2010, abgerufen am 19. August 2025 (englisch).

Weblinks

• Seiberg-Witten moduli space auf nLab (englisch)