Yang-Mills-Modulraum

Der Yang-Mills-Modulraum (kurz YM-Modulraum, auch Instanton-Modulraum) ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie der Modulraum der Yang-Mills-Gleichungen, also der Raum ihrer Lösungen bis auf Eichungen.

Benutzt wird dieser für den Beweis des Donaldson-Theorems, der als Beitrag für die Verleihung der Fields-Medaille an Simon Donaldson im Jahr 1986 aufgelistet wurde, und die Definition der Donaldson-Invarianten, die beim Studium vierdimensionaler glatter Mannigfaltigkeiten (kurz 4-Mannigfaltigkeiten) verwendet werden. Eine Schwierigkeit ist dabei, dass der Yang-Mills-Modulraum üblicherweise nicht kompakt ist und daher durch aufwendige Techniken um Singularitäten herum kompaktifiziert werden muss. Eine Verbesserung entstand später durch den immer kompakten Seiberg-Witten-Modulraum. Benannt ist der Yang-Mills-Modulraum nach Chen Ning Yang und Robert L. Mills, die die zugrundeliegenden Yang-Mills-Gleichungen im Jahr 1954 eingeführt haben.

In vier Dimensionen, siehe auch vierdimensionalen Yang-Mills-Theorie, sind wichtige Unterräume des Yang-Mills-Modulraumes der selbstduale Yang-Mills-Modulraum (kurz SDYM-Modulraum, auch selbstdualer Instanton-Modulraum) der Lösungen der selbstdualen Yang-Mills-Gleichungen bis auf Eichung und der antiselbstduale Yang-Mills-Modulraum (kurz ASDYM-Modulraun, auch antiselbstdualer Instanton-Modulraum) der Lösungen der antiselbstdualen Yang-Mills-Gleichungen bis auf Eichung.

Definition

Sei ${\displaystyle G}$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ und ${\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow X}$ ein ${\displaystyle G}$-Hauptfaserbündel über einer glatten Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$, was ${\displaystyle P}$ ebenfalls zu einer glatten Mannigfaltigkeit macht. Sei ${\displaystyle \operatorname {Ad} (P):=P\times _{G}{\mathfrak {g}}}$ das adjungierte Vektorbündel, dann sind die Yang-Mills-Gleichungen formuliert auf dem Konfigurationsraum:

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\Omega ^{1}(X,\operatorname {Ad} (P))\cong \Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(P,{\mathfrak {g}})}$

wobei der Isomorphismus eine Wahl von lokalen Schnitten ${\displaystyle s_{i}\colon U_{i}\hookrightarrow P}$ für eine offene Überlagerung ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}\subset X}$ benötigt (oder alternativ einen Zusammenhang da der hintere Raum ein affiner Vektorraum ist, was den Isomorphismus nicht kanonisch ist) und ist gegeben durch:

${\displaystyle \Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(P,{\mathfrak {g}})\xrightarrow {\cong } \Omega ^{1}(X,\operatorname {Ad} (P)),A\mapsto (s_{i}^{*}A)_{i\in I}.}$

Da der Konfigurationsraum ein unendlichdimensionaler Vektorraum ist, ist dieser schwierig zu beschreiben. Doch wegen der Gruppenwirkung auf dem Hauptfaserbündel ist es sinnvoll eine Gruppenwirkung auf dem Konfigurationsraum mit der folgenden Eichgruppe zu betrachten:

${\displaystyle {\mathcal {G}}:=C^{\infty }(P,G)^{G}\cong C^{\infty }(X,G)\cong \operatorname {Aut} (P)}$

wobei die Isomorphismus mithilfe der freien und transitiven Wirkung von ${\displaystyle G}$ auf den Fasern von ${\displaystyle P}$ gegeben ist (wobei ${\displaystyle G}$ als oberer Index für die ${\displaystyle G}$-equivarianten Abbildungen steht und welche kanonisch sind):

${\displaystyle C^{\infty }(X,G)\xrightarrow {\cong } \operatorname {Aut} (P),f\mapsto (p\mapsto p\cdot f(\pi (p)));}$

${\displaystyle C^{\infty }(P,G)^{G}\xrightarrow {\cong } \operatorname {Aut} (P),f\mapsto (p\mapsto p\cdot f(p)).}$

Ein Hauptfaserbündelautomorphismus ${\displaystyle P\rightarrow P}$ induziert einen Vektorbündelautomorphismus ${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)\rightarrow \operatorname {Ad} (P)}$, wodurch die Eichgruppe ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ frei auf dem Konfigurationsraum ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ wirkt, was auf folgenden Orbitraum führt:

${\displaystyle {\mathcal {B}}:={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}.}$

Es kann gezeigt werden, dass die Yang-Mills-Gleichungen eichinvariant sind und daher nur über diesem Orbitraum formuliert sind. Ihre Lösungen bilden den Yang-Mills-Modulraum:

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}:=\{[A]\in {\mathcal {B}}|\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0\}.}$

Ist ${\displaystyle X}$ eine 4-Mannigfaltigkeit, dann ermöglicht vierdimensionale Yang-Mills-Theorie weiter die Definition des (anti)selbstdualen Yang-Mills-Modulraumes:

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}^{-}={\mathcal {M}}_{P}^{\mathrm {ASD} }:=\{[A]\in {\mathcal {B}}|\star F_{A}=-F_{A}\};}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}^{+}={\mathcal {M}}_{P}^{\mathrm {SD} }:=\{[A]\in {\mathcal {B}}|\star F_{A}=+F_{A}\}.}$

Es gibt kanonische Inklusionen ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}^{-},{\mathcal {M}}_{P}^{+}\hookrightarrow {\mathcal {M}}_{P}^{+}}$. Der Schnitt ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}^{-}\cap {\mathcal {M}}_{P}^{+}}$ enthält genau die flachen Zusammenhänge, die kritischen Punkte der Chern-Simons-Wirkung, und kann daher als Chern-Simons-Modulraum bezeichnet werden.

Eigenschaften

• Wenn ${\displaystyle X}$ eine 4-Mannigfaltigkeit ist, dann gilt:^[1][2][3]

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{P}^{+}=2p_{1}(\operatorname {Ad} (P))[X]-\dim G(1-b_{1}+b_{2}^{-}).}$

• Insbesondere für die zweite spezielle unitäre Gruppe ${\displaystyle G=\operatorname {SU} (2)}$ gilt:^[4]

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{P}^{+}=-8c_{2}(P)[X]-3(1-b_{1}+b_{2}^{-}).}$

• Insbesondere für die dritte spezielle orthogonale Gruppe ${\displaystyle G=\operatorname {SO} (3)}$ gilt:^[5]

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{P}^{+}=2p_{1}(P)[X]-3(1-b_{1}+b_{2}^{-}).}$

Anwendung

Für den Beweis des Donaldson-Theorems betrachtete Simon Donaldson den selbstdualen Yang-Mills-Modulraum ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}^{+}}$ des eindeutigen SU(2)-Hauptfaserbündels ${\displaystyle P\twoheadrightarrow X}$ über einer einfach zusammenhängenden 4-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle c_{2}(P)[X]=-1}$. (Über der 4-Sphäre ${\displaystyle S^{4}}$ wäre das die quaternionische Hopf-Faserung ${\displaystyle S^{7}\twoheadrightarrow S^{4}}$.) Nach einer anfänglichen Annahme von einfachem Zusammenhang für ${\displaystyle b_{1}(X)=0}$ im Jahr 1983, erweiterte er den Beweis im Jahr 1987 auch ohne diese Annahme zu funktionieren. Auf der im Donaldson-Theorem angenommenen definiten Schnittform ${\displaystyle \omega }$ folgt zudem ${\displaystyle b_{+}(X)=0}$. Damit ist der selbstduale Yang-Mills-Modulraum ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}^{+}}$ fünfdimensional. Simon Donaldson gab die folgende Beschreibung von dessen Singularitäten und dessen Rand an, welches einen für den Beweis essentiellen Bordismus beschreibt:^[6]

Visualisierung des im Beweis des Donaldson-Theorem verwendeten Yang-Mills-Modulraumes

• Gibt es ${\displaystyle n}$ Paare ${\displaystyle \pm \alpha \in H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ für die Gleichung ${\displaystyle \omega (\alpha ,\alpha )=\langle \alpha ^{2},[X]\rangle =1}$ mit der Kronecker-Paarung und Fundamentalklasse, dann gibt es ${\displaystyle n}$ Singularitäten ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in {\mathcal {M}}_{P}^{+}}$, sodass ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}^{+}\setminus \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$ eine 5-Mannigfaltigkeit ist. Jede solche Singularität ${\displaystyle x_{i}\in {\mathcal {M}}_{P}^{+}}$ hat eine Umgebung ${\displaystyle U_{i}\subset {\mathcal {M}}_{P}^{+}}$ diffeomorph zum Kegel über dem zweiten komplexen projektiven Raum ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$ (dessen Spitze der Singularität entspricht).
• Eine Umgebung des Randes ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}_{P}^{+}}$ ist diffeomorph zum halboffenen Zylinder über ${\displaystyle X}$, sodass also ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{P}^{+}:={\mathcal {M}}_{P}^{+}\cup X}$ eine Kompaktifizierung mit ${\displaystyle \partial {\overline {\mathcal {M}}}_{P}^{+}=X}$ ergibt. Wenn zusätzlich die Kegel um die Singularitäten entfernt werden, ist ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{P}^{+}\setminus (U_{1}\cup \ldots \cup U_{n})}$ ein Bordismus zwischen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle (\mathbb {C} P^{2})^{\sqcup n}}$. Wichtig ist dabei, dass alle zweiten komplexen projektiven Räume tatsächlich gleich orientiert sind, da ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}\sqcup {\overline {\mathbb {C} P^{2}}}}$ nullkobordant (als Rand der 5-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}\times [0,1]}$) ist und sich daher herauskürzen ließe. Da die Signatur invariant unter Bordismen ist und disjunkte Vereinigungen in Summen umwandelt, gilt ${\displaystyle \sigma (X)=n\sigma (\mathbb {C} P^{2})=n}$.

Literatur

• Simon Donaldson: An application of gauge theory to four-dimensional topology. In: Journal of Differential Geometry. 18. Jahrgang, Nr. 2, 1983, doi:10.4310/jdg/1214437665 (englisch).
• Simon Donaldson: The orientation of Yang-Mills moduli spaces and 4-manifold topology. In: Journal of Differential Geometry. 26. Jahrgang, Nr. 3, 1987, doi:10.4310/jdg/1214441485 (englisch).
• Daniel Freed und Karen Uhlenbeck: Instantons and Four-Manifolds (= Mathematical Sciences Research Institute Publications. Band 1). Springer, 1990, ISBN 978-1-4613-9705-2 (englisch).

Weblinks

• Yang-Mills moduli space auf nLab (englisch)