T1-Raum

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind T₁-Räume spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften besitzen. Das ${\displaystyle T_{1}}$-Axiom ist ein Beispiel eines Trennungsaxioms.

Definition

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum. ${\displaystyle X}$ heißt ${\displaystyle T_{1}}$-Raum, falls für zwei beliebige Punkte jeder eine Umgebung besitzt, in der der andere nicht liegt. Zur Abgrenzung: Bei einem T₀-Raum muss nur einer der beiden Punkte eine solche Umgebung besitzen, bei einem T₂-Raum müssen die beiden Umgebungen disjunkt gewählt werden können. Man sagt auch, dass ein ${\displaystyle T_{1}}$-Raum eine Fréchet-Topologie besitzt. Zu vermeiden ist in diesem Zusammenhang die Bezeichnung Fréchet-Raum, die ein Begriff aus der Funktionalanalysis ist.

Eigenschaften

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum. Folgende Aussagen sind äquivalent:

• ${\displaystyle X}$ ist ein ${\displaystyle T_{1}}$-Raum.
• ${\displaystyle X}$ ist ein Kolmogoroff-Raum und ein R₀-Raum.
• Alle einpunktigen Mengen in ${\displaystyle X}$ sind abgeschlossen.
• Jede endliche Menge ist abgeschlossen.
• Jede Menge mit endlichem Komplement ist offen.
• Jeder Elementarfilter zu einem beliebigen ${\displaystyle x\in X}$ konvergiert nur gegen ${\displaystyle x}$.
• Für jede Teilmenge ${\displaystyle S\subseteq X}$ gilt, dass ein Element ${\displaystyle x}$ aus ${\displaystyle X}$ genau dann ein Häufungspunkt von ${\displaystyle S}$ ist, wenn jede offene Umgebung von ${\displaystyle x}$ unendlich viele Elemente von ${\displaystyle S}$ enthält.

In topologischen Räumen gelten immer folgende Implikationen

getrennt ${\displaystyle \implies }$ topologisch unterscheidbar ${\displaystyle \implies }$ disjunkt

Falls der erste Pfeil umgekehrt werden kann, handelt es sich um einen R₀-Raum, genau in einem T₀-Raum gilt dies auch für die zweite Implikation. Damit sieht man, dass ein topologischer Raum genau dann ${\displaystyle T_{1}}$ erfüllt, wenn er sowohl ein ${\displaystyle R_{0}}$-Raum und ein ${\displaystyle T_{0}}$-Raum ist.

Beispiele

Die Zariski-Topologie auf einer algebraischen Varietät (im klassischen Sinne) ist T₁. Um das zu sehen, betrachten wir einen Punkt mit lokaler Koordinate ${\displaystyle (c_{1},\ldots ,c_{n})}$. Die dazugehörige einpunktige Menge ist die Nullstellenmenge der Polynome ${\displaystyle X-c_{1},\ldots ,X-c_{n}}$. Der Punkt ist somit abgeschlossen.

Für ein weiteres Beispiel betrachten wir die kofinite Topologie auf einer abzählbaren Menge, etwa der Menge der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Als offene Menge definieren wir genau die leere Menge und die Mengen mit endlichem Komplement. Sie haben also alle die Gestalt ${\displaystyle O_{A}=\mathbb {Z} \setminus A}$ mit einer endlichen Menge A. Seien nun x und y zwei verschiedene Punkte. Die Menge ${\displaystyle O_{\{y\}}}$ ist eine offene Menge, die x enthält und y nicht. Andererseits enthält ${\displaystyle O_{\{x\}}}$ das Element y, aber x nicht. Somit handelt es sich tatsächlich um einen T₁-Raum. Dies kann man aber auch aus der Tatsache folgern, dass einelementige Mengen abgeschlossen sind. Dieser Raum ist aber kein T₂-Raum. Denn für zwei endliche Mengen A und B gilt ${\displaystyle O_{A}\cap O_{B}=O_{A\cup B}}$, was nie leer sein kann. Weiter ist die Menge der geraden Zahlen kompakt, aber nicht abgeschlossen, was in einem T₂-Raum nie der Fall sein kann.

Allgemeiner gilt für jeden topologischen Raum, der das T₁-Axiom erfüllt, dass seine Topologie bereits die kofinite Topologie umfasst. Die kofinite Topologie ist somit die gröbste T₁-Topologie auf einer Menge.

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.

Topologische Eigenschaften

V

getrennt	Kolmogoroff (T0) | symmetrisch (R0) | Fréchet (T1) | präregulär (R1) | Hausdorff (T2) | nüchtern | Urysohn (T2½) | vollständig Hausdorff (vollständig T2) | regulär | regulär Hausdorff | vollständig regulär | Tychonoff-Raum (T3½) | normal (T4) | vollständig normal | vollständig normal Hausdorff (T5) | perfekt normal | perfekt normal Hausdorff (perfekt T4)
zusammenhängend	lokal zusammenhängend | semilokal einfach zusammenhängend | total unzusammenhängend
kompakt	relativ kompakt | abzählbar kompakt | lokalkompakt | σ-kompakt | metakompakt | parakompakt | hemikompakt | orthokompakt