Περιττή συνάρτηση

Στα μαθηματικά, μία συνάρτηση λέγεται περιττή αν η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων. Πιο συγκεκριμένα, μία συνάρτηση ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$ με πεδίο ορισμού το ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$ λέγεται περιττή, αν για κάθε ${\displaystyle x}$ που ανήκει στο ${\displaystyle D}$ ισχύει ότι το ${\displaystyle -x}$ ανήκει στο ${\displaystyle D}$ και ότι ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$.^{[1]:39[2]:287}

Μαθηματικές Συναρτήσεις
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής
${\displaystyle \mathbf {y} =f(x)}$
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
${\displaystyle \mathbf {z} =f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$
Βασικές έννοιες συναρτήσεων Μονοτονία συνάρτησης Κυρτότητα συνάρτησης Συμμετρία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Ασύμπτωτες συνάρτησης Όριο συνάρτησης Συνέχεια συνάρτησης Παραγώγιση συνάρτησης Ολοκλήρωση συνάρτησης
Κατηγορίες συναρτήσεων Άρτιες συναρτήσεις Περιττές συναρτήσεις Περιοδικές συναρτήσεις Σύνθετες συναρτήσεις Αντίστροφες συναρτήσεις Αλγεβρικές συναρτήσεις Υπερβατικές συναρτήσεις
Αλγεβρικές συναρτήσεις Πολυωνυμική συνάρτηση ${\displaystyle y=ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}$ Ρητή συνάρτηση ${\displaystyle y={\frac {a_{1}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+c_{1}x+d_{1}}{a_{2}x^{m}+b_{2}x^{m-1}+...+c_{2}x+d_{2}}}}$ Άρρητη συνάρτηση ${\displaystyle y={\sqrt[{n}]{ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}}}$
Υπερβατικές συναρτήσεις Εκθετική συνάρτηση ${\displaystyle y=a^{x}}$ Λογαριθμική συνάρτηση ${\displaystyle y=\log _{a}(x)}$ Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Ημίτονο ${\displaystyle y=\sin x}$ Συνημίτονο ${\displaystyle y=\cos x}$ Εφαπτομένη ${\displaystyle y=\tan x}$

Η συνάρτηση ${\displaystyle x^{3}}$ είναι περιττή

Χαρακτηριστικά της περιττής συνάρτησης

Λόγω της ιδιότητάς της για τη μελέτη της περιττής συνάρτησης αρκεί να μελετηθεί για τιμές του ενός προσήμου, για παράδειγμα για x μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός. Τα αποτελέσματα μπορούν να γενικευούν κατάλληλα και για τις υπόλοιπες τιμές έχοντας μια πλήρη εικόνα της συνάρτησης.

Συνέχεια-Παραγωγισιμότητα

Η περιττή συνάρτηση δεν είναι κατά ανάγκη συνεχής ή παραγωγίσιμη. Αυτό που συμβαίνει είναι ότι αν η συνάρτηση έχει την ιδιότητα της συνέχειας ή της παραγωγισιμότητας σε ένα σημείο ή διάστημα έχει και την ίδια ιδιότητα στο συμμετρικό ως προς τον άξονα y'y σημείο ή διάστημα. Επιπλέον, η παράγωγος, αν υπάρχει είναι άρτια συνάρτηση.

Μονοτονία

Η μονοτονία της συνάρτησης, όπου υπάρχει, είναι ίδια σε συμμετρικά ως προς το μηδέν πεδία. Για παράδειγμα, αν μια περιττή συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (-2,-1], τότε η ίδια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα το [1,2).

Ασύμπτωτες

Οι ασύμπτωτες, αν υπάρχουν, είναι συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων Ο, άρα και παράλληλες μεταξύ τους.

Σύνολο τιμών-Ρίζες

Το σύνολο τιμών περιττής συνάρτησης ταυτίζεται με την ένωση του πεδίου των θετικών (συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός, αν ανήκει στο πεδίο ορισμού) και του πεδίου των αρνητικών αριθμών (συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός, αν ανήκει στο πεδίο ορισμού). Τα δύο επιμέρους σύνολα τιμών είναι συμμετρικά μεταξύ τους ως προς το μηδέν. Σε κάθε περιττή συνάρτηση, αν στο πεδίο ορισμού συμπεριλαμβάνεται και το μηδέν ισχύει ότι f(0)=0. Το σύνολο των ριζών περιττής συνάρτησης είναι περιττό.

Κοιλοκυρτότητα

Η κοιλοκυρτότητα της συνάρτησης, όπου ορίζεται, είναι του αντίθετου είδους σε συμμετρικά ως προς το μηδέν πεδία. Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης, αν ορίζεται, είναι και αυτή περιττή.

Δείτε επίσης

• Άρτια συνάρτηση