For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Ekvivalentklaso.

Ekvivalentklaso

El Vikipedio, la libera enciklopedio

En matematiko, por aro X kaj ekvivalentrilato ~ sur X, la ekvivalentoklaso de la elemento a en X estas la subaro, kiu konsistas el ĉiuj elementoj x el X ekvivalentaj al a:

Tiam:

a~b se kaj nur se [a] = [b].

La aro de ĉiuj ekvivalentklasoj en X por donita ekvivalentrilato ~ estas la kvocienta aro de X per ~ kaj kutime estas skribata kiel X/~.

Ĉi tiu operacio povas esti konsiderata neformale kiel la divido de la aro per la ekvivalentrilato kaj la rezulto estas ne interkovrantaj ekvivalentoklasoj. De ĉi tie estas la nomo "kvocienta aro" kaj la skribmaniero. Se rezultiĝas finia kvanto de ekvivalentklasoj ĉiuj de la sama amplekso, do amplekso de la kvocienta egalas al amplekso de X dividita je amplekso de ĉiu ekvivalentklaso.

Por ĉiu ekvivalentrilato, estas kanona projekcio π de X al X/~ donita per π(x) = [x]. Ĉi tiu funkcio ĉiam estas surĵeto. En okazoj, kiam X havas iun aldonan strukturon, oni povas konsideri ekvivalentrilatojn, kiuj konservas ĉi tiun strukturon. Tiam oni diras, ke la strukturo estas bone difinita (aŭ kohere difinita), kaj la kvocienta aro heredas la strukturon kaj estas objekto de la sama kategorio en natura maniero. Vidu en kongrueca rilato.

Pli ekzakta notacio [a]R povas esti uzata por priskribi, kiu rilato R difinas la ekvivalentklason.

Se ~ estas ekvivalentrilato sur X, kaj P(x) estas tia eco de elementoj x de X, ke por x~y la valido de P(x) garantias validon de P(y), tiam oni diras, ke la eco P estas bone difinitaklasa invarianto sub la rilato ~.

Pli ĝenerale, por funkcio f el aro X al alia aro Y: se x1 ~ x2 implicas validon de f(x1) = f(x2), tiam f estas klasa invarianto sub ~, aŭ simple invarianto sub ~.

Ekzemploj

  • Konsideru la modulan aritmetikon module n. Estu ekvivalentrilato sur la aro Z de entjeroj: x~y se kaj nur se x mod n = y mod n. Ĉi tiu rilato donas akurate n ekvivalentklasojn: [0] (nombroj kiuj dividiĝas je n), [1] (nombroj kiuj havas restaĵon 1 estante dividigataj je n), [2], [3], ... ,[n-1]. Ekvivalentklaso [n] estas la samo kiel [0] ĉar 0~n.
  • La racionalaj nombroj povas esti konstruita kiel la aro de ekvivalentklasoj de ordigitaj duopoj, duopoj de entjeroj (a, b) kie b ne estas nulo, kun ekvivalentrilato (a, b) ~ (c, d) se kaj nur se ad=bc. La ekvivalentklaso de duopo (a, b) estas identigita kun racionala nombro a/b.
  • Ĉiu funkcio f : X → Y difinas ekvivalentrilaton sur X piel x1 ~ x2 se kaj nur se f(x1) = f(x2). La ekvivalentklaso de x estas la aro [x] de eroj en X kiu estas la inversa bildo de f(x). Ĉi tiu ekvivalentrilato estas la kerno de funkcio de f.
    • Se f(x)=x2, do por ĉiu x≠0 ekvivalentklaso de x estas aro [x]={x, -x} konsistanta el du eroj, kaj ekvivalentklaso de 0 estas aro [0]={0} konsistanta el unu ero.

Vidu ankaŭ

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Ekvivalentklaso
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.