Senfinecono

Senfinecono aŭ infinitezimo estas nombro, kiu estas senfine malgranda, sed ne nulo. Tiaj nombroj ne troviĝas en la realaj nombroj, sed ekzistas aliaj nombrosistemoj kiuj enhavas ilin. Historie oni uzis senfineconojn por naive difini la diferencialon kaj integralon. Kvankam limvaloroj nun estas pli popularaj en matematika analizo, ekzistas ankaŭ neordinara analizo kie oni povas rigore uzi senfineconojn.

Senfineconoj en la hiperrealaj nombroj

Historio

Antikva historio

Arĥimedo uzis senfineconojn en La metodo de meĥanikaj teoremoj por kalkuli la areon de ebenaj regionoj kaj la volumenon de spacaj regionoj.

17a jarcento

Pli poste senfineconoj estis uzataj de Gottfried Leibnitz, Leonhard Euler kaj Joseph-Louis Lagrange en la infinitezima kalkulo. Laŭ Leibniz, senfineconoj estas regataj de du gravaj principoj: La leĝo de kontinueco, laŭ kiu ĉio kiu okazas ĉe ordinaraj nombroj, okazas ankaŭ ĉe senfineconoj, kaj la transpasa leĝo de samgradeco, laŭ kiu nur la senfineconaj termoj kun la plej malalta grado povas resti kaj ĉiuj aliaj estas forigendaj^[1][2]. Ni povas vidi la uzon de ambaŭ principoj kalkulante la diferencialon de du kunobligitaj funkcioj.

${\displaystyle {\begin{aligned}d(uv)&=(u+du)(v+dv)-uv\\&=uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv\\&=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv\\&=u\cdot dv+v\cdot du\end{aligned}}}$

En la unuaj tri paŝoj ni kalkulas per la senfineconoj ${\displaystyle du}$ kaj ${\displaystyle dv}$ kvazaŭ ili estus ordinaraj nombroj laŭ la leĝo de kontinueco, kaj en la kvara paŝo ni forigas la plej lastan termon laŭ la transpasa leĝo de samgradeco, ĉar ĝi enhavas obligon de du senfineconoj kaj tial ĝi havas pli altan gradon ol ĉiuj aliaj termoj, kiuj ne enhavas obligon de senfinecono per alia senfinecono.

Moderna historio

Matematikistoj ne sciis kiel formaligi senfineconojn, do Augustin Louis Cauchy, Karl Weierstraß, Richard Dedekind kaj aliaj formaligis la senfineconan kalkulon per la realnombra analizo, kiu per siaj konsideroj pri limvaloroj forigis la neceson uzi ilin. Tamen la senfineconoj plu estis konsiderataj utilaj por plisimpligi klarigojn kaj kalkulojn. En la dudeka jarcento matematikistoj kiel Abraham Robinson trovis matematike rigorajn manierojn difini senfineconojn.

Sistemoj kun senfineconoj

Hiperrealaj nombroj

Ĉefa artikolo: Hiperrealaj nombroj

Abraham Robinson rigore plivastigis la kampon de reeloj enmetante senfine grandajn nombrojn kaj senfineconojn. La rezultantaj nombroj estas konataj kiel la hiperrealaj nombroj. Ankaŭ la hiperrealaj nombroj formas kampon, kaj fakte ĉiuj asertoj pri la realaj nombroj esprimeblaj per unuaorda logiko estas veraj ankaŭ en la hiperrealaj nombroj. Tiu ĉi principo nomiĝas la principo de transdono. Oni povas rigardi ĝin kiel rigoran version de la leĝo de kontinueco kiun Leibniz uzis.^[1]

La principo de transdono ne konservas ĉion, do kvankam la realaj nombroj formas Arĥimedan kampon, la hiperrealaj nombroj ne faras tion, ĉar neniu reala nombro estas atingebla per adicio de nur senfineconoj, kaj neniu senfine granda nombro estas atingebla per adicio de nur realaj nombroj. La hiperrealaj nombroj mem estis plivastigitaj de John Conway por formi la surrealajn nombrojn.

Dualaj nombroj

Oni povas plivastigi la aron de realaj nombroj per elemento ${\displaystyle \varepsilon }$ kies memobligo estas nulo kaj tial povas servi kiel senfinecono. Tiun ĉi plivastigon oni nomas la dualaj nombroj. Ĉiun dualan nombron ${\displaystyle a+b\varepsilon }$ unike reprezentas la du realaj nombroj ${\displaystyle a}$ kaj ${\displaystyle b}$. Oni povas difini tiun ĉi nombrosistemon per matricoj de la ĉi-suba formo. Tiel la obligado kaj adicio de dualaj nombroj simple estas la kutimaj matricaj obligado kaj adicio. Ĉar la matrico kiu reprezentas ${\displaystyle \varepsilon }$ ne estas inversigebla, la dualaj nombroj ne formas kampon.

${\displaystyle a+b\varepsilon$ :={\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}}