Meromorfa funkcio

En kompleksa analitiko, meromorfa funkcio aŭ meromorfio estas funkcio, kiu estas holomorfa ĉie krom ĉe izolitaj punktoj (kiuj nomiĝas polusoj de la funkcio).

Difino

Supozu, ke ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ estas malfermita subaro de la kompleksa ebeno. La notacio

${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \sqcup \{{\widehat {\infty }}\}}$

signifas la rimanan sferon. Do, funkcio

${\displaystyle f\colon U\to {\hat {\mathbb {C} }}}$

estas meromorfa, se kaj nur se ĝi plenumas la jenajn kondiĉojn:

• (Holomorfeco krom polusoj) La malvastigaĵo ${\displaystyle f\upharpoonright f^{-1}(\mathbb {C} )}$ estas holomorfa funkcio sur ${\displaystyle f^{-1}(\mathbb {C} )=U\setminus f^{-1}({\widehat {\infty }})}$.
• (Izolitaj polusoj) La malbildo ${\displaystyle f^{-1}({\widehat {\infty }})}$ konsistas el izolitaj punktoj, kaj ĉe ĉiuj el tiuj izolitaj punktoj, la funkcio havas poluson. Alivorte, pri iu ajn ${\displaystyle z_{0}\in U}$, se ${\displaystyle f(z_{0})={\widehat {\infty }}}$, do ekzistas ĉirkaŭaĵo ${\displaystyle z_{0}\in V\subseteq U}$, entjero ${\displaystyle n}$, kaj vico de kompleksaj nombroj ${\displaystyle a_{n},a_{n+1},a_{n+2},\dotsc \in \mathbb {C} }$ tiaj, ke pri ĉiu ajn ${\displaystyle z\in V\setminus \{z_{0}\}}$, do ${\displaystyle f(z)=\textstyle \sum _{i=n}^{\infty }a_{i}(z-z_{0})^{i}}$ (la serio de Laurent).

Pli abstrakte, la aro de meromorfaj funkcioj sur ${\displaystyle U}$ estas kampo, kiu estas la ringo de frakcioj de la komuta ringo de holomorfaj funkcioj sur ${\displaystyle U}$. Tio signifas, ke ĉiu meromorfa funkcio estas esprimebla kiel la rilatumo inter du holomorfaj funkcio, el kiuj la dividanto ne estas ĉie nul. (Tamen, la dividato povas esti nul.)

Ekzemploj

Se ${\displaystyle p(z)}$ kaj ${\displaystyle q(z)}$ estas polinomoj, kaj ${\displaystyle q\neq 0}$, do la rilatumo

${\displaystyle {\frac {p(z)}{q(z)}}}$

estas meromorfa funkcio sur la tuta kompleksa ebeno. La polusoj de la ĉi-supra meromorfa funkcio estas la nuloj de ${\displaystyle q}$.

Ĉiu holomorfa funkcio estas meromorfa.

La funkcio ${\displaystyle \exp(1/z)}$ ne estas meromorfa sur la tuta kompleksa ebeno, ĉar la neordinaraĵo ĉe ${\displaystyle z=0}$ ne estas poluso. (Tamen, ĝi estas holomorfa ­— kaj tial meromorfa — sur ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$.)

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Meromorphic function en MathWorld.