Coeficiente binomial gaussiano

En matemáticas, los coeficientes binomiales gaussianos (también llamados coeficientes gaussianos, polinomios gaussianos, o coeficientes q-binomiales) son q-análogos de los coeficientes binomiales. El coeficiente gaussiano binomial, escrito como

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}}$ ó ${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}}$,

es un polinomio en q con coeficientes enteros, cuyos valores cuando q es tomada como una potencia prima cuenta el número de subespacios de dimensión k en un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo finito con q elementos.

Definiciones

Los coeficientes binomiales gaussianos se define como:^[1]

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {(1-q^{m})(1-q^{m-1})\cdots (1-q^{m-r+1})}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}}$

donde m y r son enteros no negativos. Si r > m, se evalúa a 0. Para r = 0, el valor es 1 puesto que el numerador y el denominador son productos vacíos.

Aunque la fórmula en principio parecer ser una función racional, en realidad es un polinomio, puesto que la división es exacta en Z[q]

Todos los factores en el numerador y el denominador son divisibles por 1 − q, y el cocientes es el q-número:

${\displaystyle [k]_{q}=\sum _{0\leq i<k}q^{i}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{k-1}={\begin{cases}{\frac {1-q^{k}}{1-q}}&{\text{for}}&q\neq 1\\k&{\text{for}}&q=1\end{cases}},}$

Dividiendo estos factores da la fórmula equivalente

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {[m]_{q}[m-1]_{q}\cdots [m-r+1]_{q}}{[1]_{q}[2]_{q}\cdots [r]_{q}}}\quad (r\leq m).}$

En términos del q factorial ${\displaystyle [n]_{q}!=[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n]_{q}}$, la fórmula puede ser expresada como

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {[m]_{q}!}{[r]_{q}!\,[m-r]_{q}!}}\quad (r\leq m).}$

Sustituyendo q = 1 en ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}$ se obtiene el coeficiente binomial ordinario ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}}$.

El coeficiente binomial gaussiano tiene valores finitos como ${\displaystyle m\rightarrow \infty }$:

${\displaystyle {\infty \choose r}_{q}=\lim _{m\rightarrow \infty }{m \choose r}_{q}={\frac {1}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}={\frac {1}{[r]_{q}!\,(1-q)^{r}}}}$

Ejemplos

${\displaystyle {0 \choose 0}_{q}={1 \choose 0}_{q}=1}$

${\displaystyle {1 \choose 1}_{q}={\frac {1-q}{1-q}}=1}$

${\displaystyle {2 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{2}}{1-q}}=1+q}$

${\displaystyle {3 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{3}}{1-q}}=1+q+q^{2}}$

${\displaystyle {3 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{3})(1-q^{2})}{(1-q)(1-q^{2})}}=1+q+q^{2}}$

${\displaystyle {4 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{4})(1-q^{3})}{(1-q)(1-q^{2})}}=(1+q^{2})(1+q+q^{2})=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4}}$

${\displaystyle {6 \choose 3}_{q}={\frac {(1-q^{6})(1-q^{5})(1-q^{4})}{(1-q)(1-q^{2})(1-q^{3})}}=(1+q^{2})(1+q^{3})(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4})=1+q+2q^{2}+3q^{3}+3q^{4}+3q^{5}+3q^{6}+2q^{7}+q^{8}+q^{9}}$

Propiedades

Reflexión

Como ocurre en el coeficientes binomiales ordinarios, los coeficientes binomiales gaussianos tienen simetría central, i.e., son invariantes bajo la reflexión ${\displaystyle r\rightarrow m-r}$:

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={m \choose m-r}_{q}.}$

en particular,

${\displaystyle {m \choose 0}_{q}={m \choose m}_{q}=1\,,}$

${\displaystyle {m \choose 1}_{q}={m \choose m-1}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q}}=1+q+\cdots +q^{m-1}\quad m\geq 1\,.}$

Límite cuando q = 1

La evaluación de un coeficiente binomial gaussiano cuando q = 1 es

${\displaystyle \lim _{q\to 1}{m \choose r}_{q}={m \choose r}}$

i.e. la suma de los coeficientes da el corresponiente valor binomial.

Análogos de la identidad de Pascal

Los análogos de la identidad de Pascal para los coeficientes binomiales gaussianos son:^[1]

${\displaystyle {m \choose r}_{q}=q^{r}{m-1 \choose r}_{q}+{m-1 \choose r-1}_{q}}$

y

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={m-1 \choose r}_{q}+q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_{q}.}$

Cuando ${\displaystyle q=1}$, these ambos dan la identidad binomial usual. Se puede ver que cuando ${\displaystyle m\to \infty }$, ambas ecuaciones continúan siendo válidas.

El primer análogo de Pascal permite el cálculo recursivo de los coeficientes binomiales gaussianos (con respecto a m ) usando los valores iniciales

${\displaystyle {m \choose m}_{q}={m \choose 0}_{q}=1}$

y también muestra que los coeficientes binomiales de Gauss son de hecho polinomios (en q).

El segundo análogo de Pascal se sigue del primero usando la sustitución ${\displaystyle r\rightarrow m-r}$ y de la invarianza de los coeficientes binomiales gaussianos bajo la reflexión ${\displaystyle r\rightarrow m-r}$.

Demostraciones de los análagos

Ambos análogos pueden probarse observando primero que a partir de la definición de ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}$, se tiene que:

${\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q^{m-r}}}{\binom {m-1}{r}}_{q}[1]}$

${\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q^{r}}}{\binom {m-1}{r-1}}_{q}[2]}$

${\displaystyle {\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}{\binom {m-1}{r}}_{q}={\binom {m-1}{r-1}}_{q}[3]}$

como

${\displaystyle {\frac {1-q^{m}}{1-q^{m-r}}}={\frac {1-q^{r}+q^{r}-q^{m}}{1-q^{m-r}}}=q^{r}+{\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}}$

[1] se convierte en:

${\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}=q^{r}{\binom {m-1}{r}}_{q}+{\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}{\binom {m-1}{r}}_{q}}$

y sustituyendo en [3] se obtiene el primer análogo.

En un proceso similar, usando

${\displaystyle {\frac {1-q^{m}}{1-q^{r}}}=q^{m-r}+{\frac {1-q^{m-r}}{1-q^{r}}}}$

en vez del anterior, se obtiene el segundo análogo.

Teorema q-binomial

Hay una análogo del teorema binomial para coeficientes q-binomiales:

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{n}q^{k(k-1)/2}{n \choose k}_{q}t^{k}.}$

Al igual que el teorema del binomio habitual, esta fórmula tiene numerosas generalizaciones y extensiones; una de ellas, correspondiente al teorema binomial generalizado de Newton para potencias negativas, es

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{1-q^{k}t}}=\sum _{k=0}^{\infty }{n+k-1 \choose k}_{q}t^{k}.}$

En el límite ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, estas fórmulas dan

${\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k(k-1)/2}t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}}$

y

${\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{k}t}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}}$.

Tomando ${\displaystyle t=q}$ se obtienen las funciones generadoras para distintas partes y cualquier parte respectivamente.

Identidad q-binomial central

Con los coeficientes binomiales ordinarios, se tiene que:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}}$

Con los coeficientes q-binomiales, el análogo es:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k^{2}}{\binom {n}{k}}_{q}^{2}={\binom {2n}{n}}_{q}}$