Conjunto radial

En matemáticas, un subconjunto ${\displaystyle A\subseteq X}$ de un espacio vectorial ${\displaystyle X}$ es radial en un punto dado ${\displaystyle a_{0}\in A}$ si para cada ${\displaystyle x\in X}$ existe un ${\displaystyle t_{x}>0}$ real tal que para cada ${\displaystyle t\in [0,t_{x}],}$ ${\displaystyle a_{0}+tx\in A.}$^[1] Geométricamente, esto significa que ${\displaystyle A}$ es radial en ${\displaystyle a_{0}}$ si para cada ${\displaystyle x\in X,}$ hay algún segmento rectilíneo (no degenerado) (dependiente de ${\displaystyle x}$) que emana de ${\displaystyle a_{0}}$ en dirección a ${\displaystyle x}$ y que se encuentra completamente en ${\displaystyle A.}$.

Todo conjunto radial es un dominio en estrella, aunque no a la inversa.

Relación con el interior algebraico

Los puntos en los que un conjunto es radial se denominan puntos internos.^[2][3] El conjunto de todos los puntos en los que ${\displaystyle A\subseteq X}$ es radial es igual al interior algebraico.^[1][4]

Relación con los conjuntos absorbentes

Cada subconjunto absorbente es radial en el origen ${\displaystyle a_{0}=0,}$ y si el espacio vectorial es real, entonces también se cumple lo contrario. Es decir, un subconjunto de un espacio vectorial real es absorbente si y solo si es radial en el origen. Algunos autores utilizan el término radial como sinónimo de absorbente.^[5]

Véase también

• Conjunto absorbente
• Interior algebraico
• Funcional de Minkowski
• Dominio en estrella