Cuadrifolio

Este artículo trata sobre la curva polar. Para la forma arquitectónica, véase cuadrilóbulo.

El cuadrifolio (también conocido como trébol de cuatro hojas)^[1] es un tipo de rosa polar con una frecuencia angular de 2.

Cuadrifolio rotado

Cuadrifolio creado con engranajes

Ecuaciones

En coordenadas polares, tiene la expresión siguiente:

${\displaystyle r=a\cos(2\theta ),\,}$

con la correspondiente ecuación algebraica:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}=a^{2}(x^{2}-y^{2})^{2}.\,}$

Girando la curva en sentido antihorario 45°, se convierte en

${\displaystyle r=a\sin(2\theta )\,}$

con la ecuación algebraica correspondiente

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}=4a^{2}x^{2}y^{2}.\,}$

Es una curva algebraica plana de género cero.

La curva dual del cuadrifolio es

${\displaystyle (x^{2}-y^{2})^{4}+837(x^{2}+y^{2})^{2}+108x^{2}y^{2}=16(x^{2}+7y^{2})(y^{2}+7x^{2})(x^{2}+y^{2})+729(x^{2}+y^{2}).\,}$

Curva dual del cuadrifolio

Área y longitud

El área contenida dentro de la curva es ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$, que es exactamente la mitad del área del círculo que envuelve perimetralmente el cuadrifolio. La longitud de la curva es de aproximadamente 9,6884.^[2]