Espacio coordenado complejo

En matemáticas, el espacio coordenado complejo,^[1] espacio de coordenadas complejas o espacio complejo n-dimensional) es el conjunto de todas las n-tuplas ordenadas de número complejos. Se denota como ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, y es una n-variedad resultado del producto cartesiano del plano complejo ${\displaystyle \mathbb {C} }$ aplicado sobre sí mismo. Simbólicamente,

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\{(z_{1},\dots ,z_{n})|z_{i}\in \mathbb {C} \}}$

o

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\underbrace {\mathbb {C} \times \mathbb {C} \times \cdots \times \mathbb {C} } _{n}.}$

Las variables ${\displaystyle z_{i}}$ son las coordenadas (complejas) en el espacio n-complejo.

El espacio de coordenadas complejas es un espacio vectorial sobre los números complejos, con suma por componentes y multiplicación escalar. Las partes real e imaginaria de las coordenadas configuran una biyección de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ con respecto al espacio coordenado real ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$. Con la topología euclídea estándar, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ es un espacio vectorial topológico sobre los números complejos.^[2]

Una función en un subconjunto abierto del n-espacio complejo se denomina holomórfica si es holomorfa en cada coordenada compleja por separado. El análisis de multivariable compleja es el estudio de tales funciones holomórficas con n variables. De manera más general, el n-espacio complejo es el espacio destino de los sistemas de coordenadas holomórficas en variedades complejas.^[3]

Véase también

• Espacio vectorial