Espacio vectorial conveniente

Un espacio vectorial conveniente es un tipo de espacio vectorial localmente convexo que además es ${\displaystyle \scriptstyle c^{\infty }}$-completo. Una propiedad importante es que en dichos espacios vectoriales puede definirse el concepto de integral (antiderviada) de una función de variable real que toma valores en un espacio vectorial conveniente.

Definición

La propiedad clave es la de ${\displaystyle \scriptstyle c^{\infty }}$-completitud. Un espacio ${\displaystyle \scriptstyle E}$ tiene esta propiedad si se cumple alguna de las tres propiedades siguientes:^[1]

1. Cualquier sucesión de Mackey-Cauchy converge (una secuencia es de Mackey-Cauchy si converge en el sentido de Mackey hacia 0, es decir, es Mackey-convergente hacia 0. Una sucesión ${\displaystyle \scriptstyle (x_{n})}$ converge a x en el sentido de Mackey si existe una sucesión ${\displaystyle \scriptstyle (\lambda _{n}):\ 0<\lambda _{n}\to \infty }$ tal que ${\displaystyle \scriptstyle (\lambda _{n}(x_{n}-x))}$ es acotada).
2. Si ${\displaystyle \scriptstyle B\subset E}$ es un conjunto cerrado, acotado y absolutamente convexo, entonces el espacio lineal generado por ${\displaystyle \scriptstyle E_{B}=\mathrm {span} (B)\subset E}$ es un espacio de Banach.
3. Cualquier curva lipshitziana en ${\displaystyle \scriptstyle E}$ es localmente integrable en el sentido de Riemann.
4. Para cualquier ${\displaystyle \scriptstyle c_{1}\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)}$ existe un ${\displaystyle \scriptstyle c_{2}\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)}$ tal que ${\displaystyle \scriptstyle c_{1}=c'_{2}}$ (existencia de antiderivada).