Matriz (matemática)

En matemática, una matriz es un conjunto bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula y sus elementos con la misma letra en minúscula con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}_{m\times n}}$

Los elementos individuales de una matriz ${\displaystyle m}$ x ${\displaystyle n}$, se denotan a menudo por ${\displaystyle a_{ij}}$, donde el máximo valor de ${\displaystyle i}$ es ${\displaystyle m}$, y el máximo valor de ${\displaystyle j}$ es ${\displaystyle n}$. Siempre que la matriz tenga el mismo número de filas y de columnas que otra matriz, estas se pueden sumar o restar elemento por elemento.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Cronología^[1]

Año	Acontecimiento
200 a. C.	En China los matemáticos usan series de números.
1848	J. J. Sylvester introduce el término «matriz».
1858	Cayley publica Memorias sobre la teoría de matrices.
1878	Frobenius demuestra resultados fundamentales en álgebra matricial.
1925	Heisenberg utiliza la teoría matricial en la mecánica cuántica

El origen de las matrices es muy antiguo. Los cuadrados latinos y los cuadrados mágicos se estudiaron desde hace mucho tiempo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C.^[2]

Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.^[3] En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693.

Los «cuadrados mágicos» eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del s. VII d. C., quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de la matemática combinatoria. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros «cuadrados mágicos» de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el año 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwan al-Safa).^[2]

Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz para facilitar la resolución de ecuaciones lineales, a finales del siglo XVII, Gabriel Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX

Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera vez el término «matriz» en 1848/1850.

En 1853, William Rowan Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Cayley, Hamilton, Hermann Grassmann, Ferdinand Georg Frobenius, Olga Taussky-Todd y John von Neumann cuentan entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de las matrices. En 1925, Werner Heisenberg redescubre el cálculo matricial fundando una primera formulación de lo que iba a pasar a ser la mecánica cuántica. Se le considera a este respecto como uno de los padres de la mecánica cuántica.

Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra Mundial, usó la teoría de matrices para investigar el fenómeno de inestabilidad aeroelastica llamado flameo.

Una matriz es un conjunto bidimensional de números (elementos de la matriz) ordenados en filas y columnas. A una matriz con ${\displaystyle m}$ filas y ${\displaystyle n}$ columnas se le denomina «matriz ${\displaystyle m}$ por ${\displaystyle n}$» (escrito ${\displaystyle m\times n}$) donde ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$. El conjunto de las matrices de tamaño ${\displaystyle m\times n}$ se representa como ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {K} )}$, donde ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es el cuerpo al cual pertenecen los elementos de la matriz.

Se dice que dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño (dimensión u orden) y los mismos elementos en las mismas posiciones. El elemento de una matriz que se encuentra en la fila ${\displaystyle i-\,\!}$ésima y la columna ${\displaystyle j-\,\!}$ésima se le llama elemento ${\displaystyle i,j\,\!}$ o elemento ${\displaystyle (i,j)\,\!}$-ésimo de la matriz.

Dos matrices ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {K} )}$ son iguales si los elementos correspondientes son iguales:

${\displaystyle a_{ij}=b_{ij},1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$.

Para definir el concepto de matriz, el término "conjunto bidimensional" es útil, aunque poco formal, pero puede formalizarse usando el concepto de función. De este modo, una matriz de ${\displaystyle m}$ filas y ${\displaystyle n}$ columnas con entradas en un cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es una función cuyo dominio es el conjunto de los pares ordenados ${\displaystyle (i,j)\,\!}$, donde ${\displaystyle 1\leq i\leq m}$ y ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$, y cuyo codominio es ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Con esta definición, la entrada ${\displaystyle i,j\,\!}$ es el valor de la función en el par ordenado ${\displaystyle (i,j)\,\!}$.

Se denota a las matrices con letra mayúscula, mientras que se utiliza la correspondiente letra en minúsculas para denotar a las entradas de las mismas, con subíndices que refieren al número de fila y columna del elemento.^[4] Por ejemplo, al elemento de una matriz ${\displaystyle A}$ de tamaño ${\displaystyle m\times n}$ que se encuentra en la fila ${\displaystyle i-\,\!}$ésima y la columna ${\displaystyle j-\,\!}$ésima se le denota como ${\displaystyle a_{ij}\,\!}$, donde ${\displaystyle 1\leq i\leq m}$ y ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$.

Cuando se va a representar explícitamente una entrada la cual está indexada con un ${\displaystyle i\,\!}$ o un ${\displaystyle j\,\!}$ con dos cifras se introduce una coma entre el índice de filas y de columnas. Así por ejemplo, la entrada que está en la primera fila y la segunda columna de la matriz ${\displaystyle A\,\!}$ de tamaño ${\displaystyle 50\times 100}$ se representa como ${\displaystyle a_{1,2}\,\!}$ mientras que la entrada que está en la fila número 23 y la columna 100 se representa como ${\displaystyle a_{23,100}\,\!}$.

Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros objetos matemáticos.^{[cita requerida]} Así ${\displaystyle \mathbf {A} }$ es una matriz, mientras que ${\displaystyle A\,\!}$ es un escalar en esa notación. Sin embargo esta notación generalmente se deja para libros y publicaciones, donde es posible hacer esta distinción tipográfica con facilidad. En otras notaciones se considera que el contexto es lo suficientemente claro como para no usar negritas.

Otra notación, en sí un abuso de notación, representa a la matriz por sus entradas, i.e. ${\displaystyle A:=(a_{ij})\,\!}$ o incluso ${\displaystyle A:=a_{ij}\,\!}$.

Como caso particular de matriz, se definen los vectores fila y los vectores columna. Un vector fila o vector renglón es cualquier matriz de tamaño ${\displaystyle 1\times n}$ mientras que un vector columna es cualquier matriz de tamaño ${\displaystyle m\times 1}$.

A las matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas, se les llama matrices cuadradas y el conjunto se denota ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$

Ejemplo

Dada la matriz ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{4\times 3}(\mathbb {K} )}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\\\end{pmatrix}}}$

es una matriz de tamaño ${\displaystyle 4\times 3}$. La entrada ${\displaystyle a_{23}\,\!}$ es 7.

La matriz ${\displaystyle R\in {\mathcal {M}}_{1\times 9}(\mathbb {K} )}$

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\end{bmatrix}}}$

es una matriz de tamaño ${\displaystyle 1\times 9}$: un vector fila con 9 entradas.

Las operaciones que se pueden hacer con matrices provienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones en álgebra lineal. De ese modo las operaciones, o su forma muy particular de ser implementadas, no son únicas.

Suma o adición

Sean ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&2&1\\3&2&1\\2&3&2\\2&0&4\end{pmatrix}}\quad +\quad {\begin{pmatrix}0&1&4\\1&4&0\\2&1&1\\0&2&2\end{pmatrix}}\quad =\quad {\begin{pmatrix}2&3&5\\4&6&1\\4&4&3\\2&2&6\end{pmatrix}}}$

. Se define la operación de suma o adición de matrices como una operación binaria ${\displaystyle +:{\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {K} )\times {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {K} )\longrightarrow {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {K} )}$ tal que ${\displaystyle (A,B)\mapsto C=A+B}$ y donde ${\displaystyle c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\,\!}$ en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Por ejemplo, la entrada ${\displaystyle c_{12}\,\!}$ es igual a la suma de los elementos ${\displaystyle a_{12}\,\!}$ y ${\displaystyle b_{12}\,\!}$ lo cual es ${\displaystyle a_{12}+b_{12}\,\!}$.

Veamos un ejemplo más explícito. Sea ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {M}}_{3}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+1&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{pmatrix}}}$

No es necesario que las matrices sean cuadradas:

A la luz de estos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamaño. La suma de matrices, en el caso de que las entradas estén en un cuerpo, poseen las propiedades de asociatividad, conmutatividad, existencia de elemento neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. Esto es así ya que estas son propiedades de los cuerpos en los que están las entradas de la matriz.

Propiedades de la suma de matrices

Sean ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )}$, donde ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es un cuerpo entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación binaria ${\displaystyle +}$. Todas las demostraciones que siguen se basan en la siguiente observación: dos matrices son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos en las mismas posiciones, es decir, si y sólo si para cada par ${\displaystyle (i,j)}$, la entrada ${\displaystyle (i,j)}$ de la primera matriz es igual a la entrada ${\displaystyle (i,j)}$ de la segunda. Por ello en las demostraciones se fija un par ${\displaystyle (i,j)}$ arbitrario y se comprueba que las correspondientes entradas de las matrices izquierda y derecha de la igualdad son iguales. Esto permite concluir, por lo anterior, que las matrices son iguales.

• Asociatividad

${\displaystyle (A+B)+C=A+(B+C)\,\!}$

Demostración

Dada la definición de la operación binaria ${\displaystyle +\,\!}$ se sigue el resultado ya que ${\displaystyle (a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}=a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})\,\!}$ debido a que ${\displaystyle a_{ij},b_{ij},c_{ij}\in \mathbb {K} }$ para todo ${\displaystyle i,j\,\!}$ (pues ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es un cuerpo).

• Conmutatividad

${\displaystyle (A+B)=(B+A)\,\!}$

Demostración

Dada la definición de la operación binaria ${\displaystyle +\,\!}$ se sigue el resultado ya que ${\displaystyle a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}\,\!}$ debido a que ${\displaystyle a_{ij},b_{ij}\in \mathbb {K} }$ para todo ${\displaystyle i,j\,\!}$ (pues ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es un cuerpo).

• Existencia del elemento neutro aditivo

Existe ${\displaystyle 0\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )}$ tal que

${\displaystyle A+0=0+A=A\,\!}$

Demostración

Tómese ${\displaystyle 0\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )}$ tal que ${\displaystyle 0_{ij}=0_{\mathbb {K} }\in \mathbb {K} }$ para cualquier ${\displaystyle i,j\,\!}$ (donde este último es el elemento neutro aditivo en el cuerpo, el cual existe necesariamente por definición de cuerpo). Entonces para cualquier ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )}$ se sigue que ${\displaystyle A+0=A\,\!}$ ya que ${\displaystyle a_{ij}+0_{ij}=a_{ij}+0_{\mathbb {K} }=a_{ij}}$ para cualquier ${\displaystyle i,j\,\!}$, dado que las entradas están en un cuerpo.

• Existencia del inverso aditivo

Existe ${\displaystyle D\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )}$ tal que

${\displaystyle A+D=0\,\!}$

a esta matriz ${\displaystyle D\,\!}$ se le denota por ${\displaystyle -A\,\!}$.

Demostración

Dada ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )}$, vamos a construir ${\displaystyle D\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )}$ tal que ${\displaystyle A+D=0\,\!}$. Queremos pues que ${\displaystyle a_{ij}+d_{ij}=0_{ij}=0_{\mathbb {K} }}$; luego, por las propiedades de cuerpo, necesariamente ${\displaystyle d_{ij}=-a_{ij}\,\!}$ donde ${\displaystyle -a_{ij}\,\!}$ es el inverso aditivo de ${\displaystyle a_{ij}\,\!}$ en el cuerpo para cualquier ${\displaystyle i,j\,\!}$. Es decir, podemos construir la inversa aditiva de ${\displaystyle A}$ como la matriz ${\displaystyle D}$ con entradas ${\displaystyle d_{ij}=-a_{ij}}$.

En efecto, estas propiedades dependen del conjunto en el que estén las entradas, como se ha dicho antes, aunque en las aplicaciones generalmente los cuerpos usados son ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (los números reales) y ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (los números complejos).

Por como se definió la operación binaria adición se dice que esta operación es una operación interna por lo que se cumple intrínsecamente la propiedad de que ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )}$ es cerrado bajo adición. Con éstas propiedades se tiene que ${\displaystyle ({\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} ),+)}$ es un grupo abeliano.

En el caso en que el conjunto al que pertenecen las entradas de la matriz sea un anillo ${\displaystyle (A,+_{A},\cdot _{A})}$, la operación de adición de matrices continúa dotando de estructura de grupo abeliano a ${\displaystyle ({\mathcal {M}}_{n\times m}(A),+)}$, ya que bajo un anillo ${\displaystyle (A,+_{A},\cdot _{A})}$ se tiene que ${\displaystyle (A,+_{A})\,\!}$ es un grupo abeliano. En el caso de que las entradas estén en un grupo ${\displaystyle (G,+_{G})\,\!}$, este necesita ser un grupo abeliano para que la adición de matrices siga dotando de estructura de grupo abeliano a ${\displaystyle ({\mathcal {M}}_{n\times m}(G),+)}$.

Producto por un escalar

Sean ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )}$ y ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$. Se define la operación de producto por un escalar como una función ${\displaystyle \mathbb {K} \times {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )\longrightarrow {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )}$ tal que ${\displaystyle (\lambda ,A)\mapsto B=\lambda A}$ y donde ${\displaystyle b_{ij}=\lambda a_{ij}\,\!}$ en donde el producto es la operación binaria correspondiente pero en el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$