Relación irreflexiva

Una relación binaria R entre los elementos de un conjunto A es una relación irreflexiva,^[1][2][3] también llamada: antirreflexiva o antirrefleja, si ningún elemento del conjunto está relacionado consigo mismo:

${\displaystyle \forall a\in A:\;(a,a)\notin R}$

Para todo a que pertenezca a A, (a,a) no pertenece R.

Que también puede expresarse

${\displaystyle \nexists a\in A:\;(a,a)\in R}$

No existe ningún elemento a en el conjunto A que cumpla que: (a,a) pertenezca a R.

Ejemplo

Tomando las rectas en el plano:

${\displaystyle r,s,t,u,\dots }$

Que forman el conjunto de las rectas del plano R:

${\displaystyle R=\{r,s,t,u,\dots \}}$

y la relación de perpendicularidad entre rectas P:

${\displaystyle P=\{(r,s):\;r,s\in R\quad \land \quad r\bot s\}}$

La relación binaria, formada por los pares de rectas que son perpendiculares, que podemos representar:

${\displaystyle r\bot s\qquad {\acute {o}}\qquad \bot (r,s)\qquad {\acute {o}}\;bien\qquad (r,s)\in \bot }$

Vemos que la relación de perpendicularidad entre rectas es irreflexiva, dado que para toda recta r del plano, r no es perpendicular a sí misma.

${\displaystyle \forall r\in R:\;r\not \!\!\bot r}$

Que también puede expresarse:

${\displaystyle \forall r\in R:\;\neg (r\bot r)}$

o expresado de otra forma, ninguna recta es perpendicular a sí misma:

${\displaystyle \nexists r\in R:\;r\bot r}$

Véase también

Propiedad de la relación binaria homogénea

Relación binaria

Relación homogénea

Relación reflexiva Relación irreflexiva

Relación simétrica Relación antisimétrica

Relación transitiva Relación intransitiva

Relación total

Relación bien fundada Acotado