Relación reflexiva

En matemáticas, una relación reflexiva^[1][2][3][4] o refleja es una relación binaria R sobre un conjunto A, de manera que todo elemento de A está relacionado consigo mismo. Es decir,

${\displaystyle \forall x\in A,\;xRx}$.

En tal caso, se dice que R cumple con la propiedad de reflexividad.

Cuando una relación es lo opuesto a una reflexiva, es decir, cuando ningún elemento de A está relacionado consigo mismo mediante R, entonces se dice que es irreflexiva, antirreflexiva o antirrefleja, lo que denotamos formalmente por:

${\displaystyle \forall x\in A,\;\neg (xRx)}$

En este caso, se dice que R cumple con la propiedad de antirreflexividad.

Representación

Sea ${\displaystyle R}$ una relación reflexiva o antirreflexiva aplicada sobre un conjunto A, entonces R tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.

Notación	Relación reflexiva	Relación antirreflexiva
Como pares ordenados	${\displaystyle \forall x\in A,\;(x,x)\in R}$	${\displaystyle \forall x\in A,\;(x,x)\notin R}$
Como matriz de adyacencia	La diagonal principal de la matriz contendrá solo 1's, es decir, ${\displaystyle \forall i=\{1,...,n\},\;(a_{i,i})_{n\times n}=1.}$	La diagonal principal de la matriz contendrá solo 0's, es decir, ${\displaystyle \forall i=\{1,...,n\},\;(a_{i,i})_{n\times n}=0.}$
Como grafo	El grafo contendrá bucles en todos sus nodos.	El grafo no contendrá bucles en ninguno de sus nodos.

Ejemplos

Sea A un conjunto cualquiera:

• Sea ${\displaystyle (A,\geq )}$, ${\displaystyle \geq }$ ("mayor o igual que") es reflexiva, pero ${\displaystyle >\,}$ ("mayor estricto que") no lo es.
• Sea ${\displaystyle (A,\leq )}$, ${\displaystyle \leq }$ ("menor o igual que") es reflexiva, pero ${\displaystyle <\,}$ ("menor estricto que") no lo es.
• Sea ${\displaystyle (A,=)\,}$, ${\displaystyle =\,}$ (la igualdad matemática), es reflexiva.
• Sea ${\displaystyle (A,\subseteq )}$, ${\displaystyle \subseteq }$ (la inclusión de conjuntos), es reflexiva.
• Sea ${\displaystyle (\mathbb {N} \backslash \{0\},/)}$, ${\displaystyle /}$ (la divisibilidad) es reflexiva.
• Sea ${\displaystyle X}$ el conjunto de todas las rectas en el plano, la relación de paralelismo || entre rectas es reflexiva, porque toda recta es paralela a sí misma.
• Sea ${\displaystyle X}$ el conjunto de todas las rectas en el plano, la relación de perpendicularidad ${\displaystyle \bot }$ entre dos rectas es antirreflexiva, porque no hay rectas que sean perpendiculares a sí mismas.
• Las relaciones Ser padre de y Ser madre de son antirreflexivas, porque en ningún caso alguien puede ser padre o madre de sí mismo.

Véase también

Propiedades de una relación binaria homogénea:

• Relación irreflexiva
• Relación simétrica
• Relación antisimétrica
• Relación transitiva
• Relación total
• Relación bien fundada