Segundo axioma de numerabilidad

En topología, se dice que un espacio topológico ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)}$ verifica el segundo axioma de numerabilidad (o que es segundo numerable, o segundo contable) si su topología tiene una base numerable. En forma abreviada, suele decirse también que el espacio es 2AN o ANII.

Propiedades

• El ser ANII es una propiedad global que limita el número de abiertos de la topología. De hecho, se demuestra que si (X,T) es ANII, entonces el cardinal de T es menor o igual que el cardinal del continuo.
• Ser ANII es una propiedad hereditaria: todo subespacio de un espacio ANII también lo es.^[1]
• El producto numerable de espacios ANII es a su vez ANII.
• Todo espacio ANII es un espacio ANI.^[2]
• Todo espacio ANII es un espacio de Lindelöf.^[2]

Ejemplos

• El espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ con su topología usual es ANII. Aunque la base formada por las bolas abiertas no es numerable, podemos encontrar una base que sí lo es: la formada por las bolas de radio racional y cuyo centro tenga coordenadas racionales.
• La táctica anterior puede repetirse en un espacio métrico separable ( i.e. que contenga un subconjunto denso numerable A). Como base basta escoger de nuevo las bolas de radio racional centradas en A.
• El espacio topológico trivial es ANII puesto que la única base de abiertos contiene un único elemento.^[2]
• El espacio topológico discreto, ${\displaystyle (X,\mathrm {T} _{D})}$, es ANII si y sólo si ${\displaystyle X}$ es numerable.^[2]
• El espacio de Sorgenfrey no es ANII, aunque sí es ANI.^[3]
• La recta cofinita, ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\mathrm {T} _{cof})}$, no es ANII puesto que no es ANI.^[3]

Véase también

• Primer axioma de numerabilidad