Ahelmurd

Ahelmurd on matemaatikas avaldis kujul^[1]

${\displaystyle a_{0}+{\frac {b_{1}}{a_{1}+{\frac {b_{2}}{a_{2}+{\frac {b_{3}}{a_{3}+...}}}}}}}$,

kus ${\displaystyle a_{0}}$ on täisarv ja ${\displaystyle a_{k}}$ ning ${\displaystyle b_{k}}$ on naturaalarvud. Jagatisi ${\displaystyle b_{k}/a_{k}}$ nimetatakse ahelmurru osajagatisteks.

Ahelmurdude tüübid

Kui ahelmurru osajagatised moodustavad lõpmatu jada, nimetatakse ahelmurdu lõpmatuks ahelmurruks, kui osajagatiste jada on lõplik, siis räägitakse lõplikust ahelmurrust. Lõpmatut ahelmurdu, mille osajagatiste jada on perioodiline, nimetatakse perioodiliseks ahelmurruks.

Lähismurrud

Ahelmurru lähismurdudeks nimetatakse jagatisi

${\displaystyle {\frac {p_{k}}{q_{k}}},}$

kus ${\displaystyle k=1,2,...}$ ning täisarvud ${\displaystyle p_{k}}$ ja ${\displaystyle q_{k}}$ on defineeritud järgmiste 2. järku rekurrentsete valemite kaudu

${\displaystyle {\begin{matrix}p_{k}=a_{k}p_{k-1}+b_{k}p_{k-2}\\q_{k}=a_{k}q_{k-1}+b_{k}q_{k-2}\end{matrix}},}$

mille algtingimuseks on ${\displaystyle p_{-1}=0}$, ${\displaystyle p_{0}=a_{0}}$, ${\displaystyle q_{-1}=0}$, ${\displaystyle q_{0}=1}$.

Ahelmurru väärtust on võimalik arvutada selle lähismurdude jada piirväärtusena.

Vaata ka

• Eukleidese algoritm