Lainefunktsioon

Lainefunktsioon ehk olekufunktsioon (ka leiulaine või psiifunktsioon^[1]; tähis ${\displaystyle \Psi }$ või ${\displaystyle \psi }$, vastavalt "suur psii" ja "väike psii") on kvantmehaanikas (lainemehaanikas) matemaatiline funktsioon, mis näitab ühest või mitmest ellementaarosakesest koosneva füüsikalise süsteemi kvantmehaanilist olekut (kvantolekut).

Osakestel on ühtaegu laine ja osakeste omadused. Kvantmehaanikas üritatakse sellist kahetist olekut samaaegselt kirjeldada.

Selle funktsiooni väärtus on tõenäosusamplituud. See funktsioon on Schrödingeri võrrandi lahend.^[2] See aitab kirjeldada näiteks elektroni asukohta aatomis.^[3]

Lainefunktsiooni väärtus üldjuhul ${\displaystyle \psi =\psi ({\bar {r}},t)}$ on komplekssuurus, selle väärtus erineb ${\displaystyle {\bar {r}}}$ ja ${\displaystyle t}$ eri väärtuste korral. Samuti sõltub ta ruumikoordinaatidest. Kolmemõõtmelises ruumis esitatakse lainefunktsioon kujul ${\displaystyle \Psi (x,y,z)}$. Üldjuhul sõltub see ka ajast ning esitatakse kujul ${\displaystyle \Psi (x,y,z,t)}$, kus ${\displaystyle t}$ on aeg. Aatomorbitaalide kirjeldamisel kasutatakse lainefunktsiooni argumentidena sfäärilisi polaarkoordinaate ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$, mis kirjeldavad aatomi tuuma ümber paiknevat ruumipunkti.

Füüsikalise tähenduse andis lainefunktsioonile Max Born, kes väitis, et lainefunktsioon aja ja asukoha funktsioonina annab osakese leidmise tõenäosuse mingis ruumipunktis.^[4] Osakese tõenäosustiheduse leidmiseks mingis ruumiosas tuleb võtta lainefunktsioonist ruut samas ruumipunktis. Lainefunktsiooni mooduli ruut ${\displaystyle |\Psi |^{2}}$ on reaalarv ning see väljendab osakese leidmise tõenäosust kindlas ruumipunktis.

Vastavalt superpositsiooni printsiibile kvantmehaanikas saab lainefunktsioonidest liita ja korrutada kompleksarve, et moodustada uusi lainefunktsioone ja Hilberti ruum.

${\displaystyle n}$ osakesest koosneva süsteemi puhul hõlmavad ${\displaystyle {\vec {r}}=({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3},...,{\vec {r}}_{n})}$ kõigi osakeste asukohakoordinaadid. Vajaduse korral sa8Fab lisada muutujaid teiste vabadusastmete jaoks. Funktsiooni väärtus ${\displaystyle \psi ({\vec {r}},t)}$ sisaldab aga kvantmehaanika Kopenhaageni tõlgenduse järgi kogu füüsikaliselt võimalikku informatsiooni [[füüsikaline suurus|füüsikaliste suuruste väärtuste kohta selles olekus. Paljudel juhtudel ei ole põhimõtteliselt võimalik juba enne suuruse mõõtmist täpselt ennustada, vaid väärtuse tekitab alles mõõtmisprotsess. Füüsikaliselt võimalik informatsioon piirdub siis ennustusega oodatavate mõõtetulemite tõenäosusjaotuste. Näiteks on kvantsüsteemis võimatu teada osakese täpset asukohta enne asukoha mõõtmist. Lainefunktsioon annab oma mooduli ruudu ${\displaystyle |\psi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3},...,{\vec {r}}_{n},t)|^{2}}$ kaudu ruumilise jaotuse, millise tõenäosusega viibivad ${\displaystyle n}$ osakest sel hetkel asukohtades ${\displaystyle {\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3},...{\vec {r}}_{n}}$. Kui vaadelda süsteemi, mis koosneb ühestainsast osakesest, siis saab seda tõenäosusjaotust kirjeldada vahetult kolmemõõtmelises ruumis.

Erwin Schrödinger võttis lainefunktsiooni kasutusele 1926, tuginedes mateerialainemõistele, mille Louis de Broglie oli ette pannud lisaelemendina elementaarosakeste liikumiste kirjelduses. Selle ruumilise kuju ja ajalise arengu määravad samal ajal sisse toodud Schrödingeri võrrand. See (või mõni selle edasiarendustest, nagu näiteks Pauli võrrand, Diraci võrrand, Kleini-Gordoni-võrrand) kirjeldab, millist kvantsüsteemi vaadeldakse ja kuidas see ajas areneb.

Üksiku osakese puhul on lainefunktsiioonil teiste lainete järgi tuttav matemaatiline kuju. Kvantsüsteemi puhul, milles on üks osake tõmbavas jõuväljas, saab lainefunktsioon moodustada seisulaineid, mis vastavad seotud statsionaarsetele olekutele diskreetse ("kvantiseeritud") energiaga. Osakese piisavalt suure energia korral saab lainefunktsioon moodustada hajumisoleku, mis koosneb kahest komponendist: mõjutusteta sissetulevast lainest ja jõuvälja tekitatud väljaminevast sfäärilisest lainest. Need kaks komponenti on kogu ruumis superpositsioon. Kui lainefunktsioon moodustab ruumiliselt lokaliseeritud lainepaketi, siis see hajub tavaliselt kiiresti, kui seda ei hoia koos jõukese. Teatud juhtudel avaldub funktsioonis käitumine, mis vastab kujutlusele osakesest (näiteks harmooniline ostsillaator).

Ainult juhul kui vaatlus piirdub üheainsa osakesega, saab lainefunktsioon kirjeldada kolmemõõtmelises ruumis kujutletavat lainet. Kui vaadeldavasse süsteemi kuulub mitu osakest, on lainefunktsioon kõikide osakeste asukohtade koordinaatide funktsioon kõrgemamõõtmelises ruumis. Peale selle on lainefunktsioon kompleksarvuliste väärtustega ja sellepärast ei saa seda lihtsal moel graafiliselt kujutada. Lainefunktsioone, mis kuuluvad hästi defineeritud energiaga ${\displaystyle E}$ olekusse (energia omaolek), saab alati kirjutada korrutisena kahest tegurist, millest üks sõltub ainult ajast ja teine ainult asukohast või asukohtadest. Sõltuvusel ajast on siis kompleksarvulise faasiteguri ${\displaystyle \exp {(-\mathrm {i} Et/\hbar )}}$ kuju (${\displaystyle \hbar }$ on taandumatu Plancki konstant). Teise teguri, mis on sõltuv ainult asukohast (või asukohtadest), saab paljudel juhtidel valida reaalarvulistena ja ühe osakesega süsteemi puhul on see tavalisel kujul graafiliselt kujutatav.

Et lainefunktsioon ei ole mõõdetav füüsikaline suurus, tuleb seda pidada eelkõige matemaatiliseks abivahendiks võimalike mõõtetulemite arvutamiseks. Selle üle, kas see eksisteerib sõltumatult sellest ka reaalse maailma esemena, vaieldakse seniajani^[5] (vt ka kvantmehaanika tõlgendused).

Ajalugu

1905. aastal postuleeris Albert Einstein võrdelisuse footoni sageduse ${\displaystyle f}$ ja ta energia ${\displaystyle E}$ vahel, ${\displaystyle E=hf}$, ning 1916. aastal vastava seose footoni impulsi ${\displaystyle p}$ ja lainepikkuse ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$, kus ${\displaystyle h}$ on Plancki konstant. Aastal 1923 pakkus De Broglie välja mõtte, et võrrand ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$, mida edaspidi nimetati De Broglie võrrandiks, kehtib ka massiga osakeste jaoks. Põhilise tõestuse andis sellele Lorentzi kovariantsus. Eelnevat võib vaadelda kui kvantmehaanika kaasaegse arengu lähtepunkti. Mõlemad võrratused kujutavad endast laine-osakese dualismi nii massiga kui ka massita osakeste jaoks.

1920. ja 1930. aastatel arendati kvantmehaanikat edasi matemaatilise analüüsi ja lineaaralgebraga. Matemaatilist analüüsi kasutasid Louis de Broglie, Erwin Schrödinger ning teised, kes töötasid välja lainemehaanika. Lineaaralgebrat kasutasid Werner Heisenberg, Max Born ning teised, töötades välja maatriksmehaanika. Schrödinger näitas hiljem, et need kaks lähenemist on ekvivalentsed.

Aastal 1926 avaldas Schödinger oma kuulsa lainevõrrandi, mida nüüd nimetatakse tema auks Schrödingeri võrrandiks. Võrrand põhines klassikalisel energia jäävusel, kasutades kvantoperaatoreid ja De Broglie võrrandit. Lahendiks olid võrrandil vastava kvantsüsteemi lainefunktsioonid. Ent siiski polnud selge, kuidas seda tõlgendada. Esmalt arvasid Schrödinger ja teised, et lainefunktsioonid kujutavad osakesi, mis on laiali puistatud, enamus osakesi olles seal, kus lainefunktsioon on suur.^[6] Ent näidati, et see ei sobi kokku lainepaketi (mis esindab osakest) elastse hajumisega sihtmärgist eemale; see levib igas suunas.^[7] Kuigi hajutatud osake võib hajuda igas suunas, ei murdu see ega liigu igasse suunda. Aastal 1926 pakkus Born välja tõenäosusliku amplituudi vaate, mis seob kvantmehaanika arvutused otseselt tõenäosuslike eksperimentaalsete vaatlustega. Nüüdseks nähakse seda kui osana Kopenhaageni tõlgendusest kvantmehaanikast. Leidub ka teisigi tõlgendusi kvantmehaanikast.

Schrödingeri võrrandi lahend

Lahendamisel tuleb ette probleem, kus mikroosakese algoleku andmise korral on üheselt määratud suuruseks ka osakese lainefunktsioon, mis määrab ära ta edaspidise käitumise. Seda väljendab Heisenbergi määramatuse printsiip.

Lahendi otsimisel tuleb välja, et iga lahend pole ka füüsikaliselt kõlblik. Lahendi otsimisel tuleb arvestada lainefunktsiooni füüsikalist tähendust ning diferentsiaalvõrrandist endast tulenevaid matemaatilisi tingimusi. Lahend peaks rahuldama kahte järgmist tingimust:

1. ${\displaystyle \psi ({\bar {r}},t)}$ on ühene ja lõplik
2. ${\displaystyle \psi ({\bar {r}},t)}$ ja tema esimesed ruumilised tuletised on pidevad.

Esimene tingimus tuleneb lainefunktsiooni tõenäosuslikust tõlgendusest, mille kohaselt peab tõenäosustihedus olema igas punktis lõplik ja ühene. Teine tingimus kujutab endast tavalist matemaatilist tingimust teist järku ruumiliste tuletistega diferentsiaalvõrrandi lahendile. Mõlemad tingimused on osakeste füüsikaliste olekute kindlakstegemisel olulised. Esimesest tingimusest saab aga tuletada ka kolmanda – normeerimistingimuse.^[4]

Vaata ka

• Tõenäosustihedus
• Lainefunktsiooni kollaps