Schrödingeri võrrand

Schrödingeri võrrand on lineaarne osatuletisega diferentsiaalvõrrand, mis võimaldab arvutada kvantmehaanilise süsteemi osakese lainefunktsiooni. Enamasti kasutatakse seda elektronide lainefunktsiooni arvutamiseks aatomis või molekulis.^[1] Võrrandi autor on austria füüsik Erwin Schrödinger, kelle järgi on võrrand ka nimetatud. Seda peetakse kvantmehaanika üheks kõige kesksemaks ja olulisemaks avastuseks. Võrrand avalikustati 1926. aastal ning 1933. aastal sai Schrödinger selle eest Nobeli füüsikaauhinna.

Schrödingeri võrrand leiab rohkem kasutust just mitterelativistlikus kvantmehaanikas. Asjaolu, st selles võrrandis on ajalised ja ruumilised vabadusastmed selgelt eristatud, muudab selle kasutamise relativistlikus kvantmehaanikas üldjuhul ebamugavaks.

Schrödingeri võrrand Varssavi ÜlikoolOchota linnakus uute tehnoloogiate keskuse ees (ülal paremal)

Schrödingeri võrrand on üks kvantmehaanika põhivõrrandeid. See kirjeldab füüsikalise süsteemi kvantoleku muutumist mitterelativistlikus lähenduses osatuletistega diferentsiaalvõrrandi kujul. Võrrandi esitas 1926 Erwin Schrödinger mateerialainete leviku kohta. See seletas edukalt vesinikuaatomi spektrit, kvantmehaanilist harmoonilist ostsillaatorit ja molekuli pöörlemist.

Ainult ühe osakesega süsteemi esindab igal hetkel lainefunktsioon ${\displaystyle \left(\;\psi ({\vec {r}},t)\;\right)}$ või üldisemal kujul olekuvektor ${\displaystyle \left(\;|\psi (t)\rangle \;\right)}$ Hilberti ruumis. Ajast sõltuva Schrödingeri võrrandi puhul rakendatakse olekule Hamiltoni operaatorit ${\displaystyle (\,{\hat {H}}\,)}$, ja tulemus näitab, kuidas olek ajaga muutub:

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\hat {H}}\psi }$.

(Siin on ${\displaystyle \mathrm {i} }$ imaginaarühik, ${\displaystyle \hbar }$ taandatud Plancki konstant ja ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}}$ osatuletis aja ${\displaystyle t}$ järgi.) Selle võrrandi järgi kujutab lainefunktsioon matemaatiliselt kompleksarvuliste väärtustega funktsiooni, mille väärtused kui niisugused ei vasta mingile mõõdetavale füüsikalisele suurusele, nii et tegu ei saa olla ka kolmemõõtmelises ruumis näitlikult kujutletava lainega. Ruumilise kujutlemise katse nurjub ka sellepärast, et mitmest osakesest koosneva süsteemi lainefunktsioon sõltub kõikide osakeste koordinaatidest, näiteks kahe osakese puhul kujul ${\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},t)\;}$, mis on abstraktses 6-mõõtmelises ruumis defineeritud funktsioon. Siiski saab süsteemi kõigi mõõdetavate suuruste mõõteväärtusi lainefunktsiooni järgi arvutuslikult ennustada.

Kui kvantsüsteemil on analoog klassikalises mehaanikas (näiteks osake jõuväljas), siis tuleneb Hamiltoni operaator vastavast klassikalisest Hamiltoni funktsioonist esimese kvantiseerimise kindlate reeglite järgi.^[2] Paljudes rakendustes konstrueeritakse Hamiltoni operaatorid aga ka ilma klassikalise eeskujuta otse kvantmehaanikalistel kaalutlustel (näiteks Pauli võrrand).

Üldiselt muudab lainefunktsioon aja jooksul kuju. Sellega saab kirjeldada füüsikalisi protsesse, nagu näiteks osakese levimist, hajumist ja interferentsi ning ebastabiilse süsteemi lagunemist, näiteks alfaradioaktivsuse korral. Mõnede lainefunktsioonide korral aga ei kutsu Hamiltoni operaator esile kuju muutust, vaid ainult globaalse faasiteguri muutuse, nii et selle lainefunktsiooni puhul jääb igas kohas mooduli ruut aja vältel konstantseks. Vastavad olekud on statsionaarsed olekud, mida nimetatakse ka Hamiltoni operaatori omaolekuteks või vaadeldava kvantsüsteemi energiatasemeteks. Ajast sõltumatu Schrödingeri võrrand võimaldab leida need statsionaarsed lainefunktsioonid ning seega arvutada süsteemi paljud omadused mingil kindlal energiatasemel.

Schrödingeri võrrand on kvantmehaanika paljude teoreetiliste ja praktiliste rakenduste alus. Alates 1926. aastast on selle abil õnnestunud seletada aatomite ja molekulide arvukaid omadusi ja interaktsioone kuni keemiliste reaktsioonideni välja, samuti tahkiste omadusi kuni uute materjalide, näiteks pooljuhtide sihipärase valmistamiseni, ning kvantmehaaniliselt kirjeldada näiteks valguse kiirgamist ja spontaanset radioaktiivset lagunemist. Siiski ei kirjelda Schrödingeri võrrand oma päristisel, klassikalisest füüsikast laenatud kujul vee nähtusi, mille seletamiseks on tarvis relatiivsusteooriat, nagu näiteks spinn, osakeste ja antiosakeste teket ja hävimist, samuti energiatasemete teatud peensusi isegi juba kõige lihtsama aatomi, nimelt vesinikuaatomi puhul.

Üldkuju

Ajast sõltuv võrrand

Kõige üldisemalt võib Schrödingeri võrrandi kirja panna kujul

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\,\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\,\psi (t)\rangle }$,

kus ${\displaystyle i\,}$ on imaginaarühik, ${\displaystyle \hbar }$ on taandatud Plancki konstant, ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ on süsteemi olekuvektor (ket-vektor), ${\displaystyle t}$ on aeg ja ${\displaystyle {\hat {H}}}$ on süsteemi Hamiltoni operaator.

Ajast sõltumatu võrrand

Võrrandit on võimalik esitada ka ilma aja sõltuvuseta. See avaldub kujul

${\displaystyle {\hat {H}}\Psi =E\Psi }$,

kus ${\displaystyle \Psi }$ on lainefunktsioon ja ${\displaystyle E}$ on süsteemi energia.

Osake kolmemõõtmelises ruumis

Kolmemõõtmelises ruumis asuvat spinnita osakest kirjeldab võrrand

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,\,t)}$

kus

• ${\displaystyle i\,}$ on imaginaarühik,
• ${\displaystyle \hbar }$ on taandatud Plancki konstant,
• ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$ on osakese asukoht,
• ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$ on lainefunktsioon, mille moodul annab tõenäosustiheduse leidmaks osakest punktist r ajahetkel t.
• ${\displaystyle m\,}$ on osakese mass.
• ${\displaystyle V(\mathbf {r} ,t)}$ on osakese potentsiaalne energia punktis r hetkel t.
• ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ on Laplace'i operaator.

Antud süsteemi Hamiltoni operaator on seega kujul

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V(\mathbf {r} ,t)}$.

Vaata ka

• Diraci võrrand
• Heisenbergi pilt
• Schrödingeri pilt
• Von Neumanni võrrand