Täiend (hulgateooria)

Hulgateoorias nimetatakse hulga A täiendiks universaalhulga U suhtes hulkade U ja A vahet U \ A.

Kui ${\displaystyle A}$ on selles pildis punane ala...

...siis on ${\displaystyle A}$ täiend kõik ülejäänu.

Hulga A täiendi tähis on ${\displaystyle A^{c}}$ või ${\displaystyle {\overline {A}}}$.

Definitsioon

${\displaystyle {\overline {A}}=\{x\,|\,x\in U\wedge x\notin A\}.}$,

kus ${\displaystyle \wedge }$ tähistab konjunktsiooni.

Omadused

Hulkade täiendi leidmisel on järgmised omadused:

• Involutiivsus

${\displaystyle {\overline {\overline {A}}}=A}$

• Täiendi seadused

${\displaystyle {\overline {\emptyset }}=U}$,

${\displaystyle {\overline {U}}=\emptyset }$,

${\displaystyle A\cup {\overline {A}}=U}$,

${\displaystyle A\cap {\overline {A}}=\emptyset }$,

• De Morgani seadused

${\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}}$,

${\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$,

kus ∩ tähistab ühisosa ja ∪ ühendit.^[1]