حلقه (ریاضیات)
From Wikipedia, the free encyclopedia
یک حلقه (به انگلیسی: ring) در ریاضیات، ساختاری جبری است که میدان را تعمیم میدهد: نیازی نیست که ضرب جابجاییپذیر باشد، و نیازی نیست تا وارون ضربی وجود داشته باشد. به زبان دیگر، یک حلقه یک مجموعه مجهز به دو عمل دوتایی است که ویژگیهایی شبیه جمع و ضرب اعداد صحیح را برآورده میکند. عناصر حلقه میتواند اعدادی مثل عدد صحیح یا عدد مختلط باشد، اما این عناصر میتواند اشیای غیر عددی مثل چندجملهای، ماتریس مربعی، تابع و سری توانی هم باشد.
از نظر صوری، یک حلقه گروهی آبلی است که عملیات آن جمع نامیده شده، به همراه عملگر دوتایی ثانویه که ضرب نامدارد و خاصیت شرکتپذیری داشته و روی عملگر جمع توزیعپذیر است و دارای عنصر همانی ضربی است (این خاصیت اخیر نزد برخی از مؤلفین الزامی نیست، § یادداشتهای مربوط به تعاریف را ببینید). پیرو تعمیم اعداد صحیح، به عملیات گروهی آبلی حلقهها، جمع و به عملگر ثانویه آن ضرب گویند.
این که آیا یک حلقه جابجایی است یا خیر (یعنی این که آیا ترتیب ضرب دو عنصر حلقه بر نتیجه ضربشان اثرگذار است یا نه؟)، اثرات ژرفی بر روی رفتار یک شیء جبری دارد. در نتیجه، نظریه حلقههای جابجایی را اغلب جبر جابجایی گویند، که مبحث کلیدی در نظریه حلقه هاست. توسعه جبرجابجایی به میزان چشمگیری از مسائل و ایدههایی که بهطور طبیعی در نظریه جبری اعداد و هندسه جبری وجود دارند وام گرفتهاست. مثالهایی از حلقههای جابجایی شامل این موارد میشود: اعداد صحیح مجهز به عملیات جمع و ضرب، مجموعه چند جمله ایها به همراه جمع و ضرب بینشان، حلقه مختصاتی یک واریته جبری آفینی و حلقه اعداد یک میدان عددی. مثالهایی از حلقههای ناجابجایی شامل حلقه ماتریسهای حقیقی مربعی که در آن ، حلقه گروهها در نظریه نمایش، جبر عملگرها در آنالیز تابعی، حلقه عملگرهای دیفرانسیلی در نظریه عملگرهای دیفرانسیل و حلقه کوهمولوژی یک فضای توپولوژیکی در توپولوژی.
مفهوم سازی برای حلقهها در دهه ۱۸۷۰ شروع شد و در دههٔ ۱۹۲۰ تکمیل شد. افرادی که نقش کلیدی در این فرایند داشتند شامل ددکیند، هیلبرت، فرانکل و نوتر بودند حلقهها را اولین بار به عنوان تعمیمهایی از دامنههای ددکیند، که در نظریه اعداد، حلقههای چند جمله ای و پایاهایی که در هندسه جبری و نظریه پایا ظاهر میشوند، به صورت صوری و رسمی درآوردند. سپس، مشخص شد که مفهوم حلقهها در دیگر شاخههای ریاضیاتی چون هندسه و آنالیز ریاضی نیز مفیدند.