ثابت‌های فایگنباوم

ثابت اول فایگنباوم نسبت محدود کننده هر فاصله دوشاخگی به بُعدی بین هر مضاعف‌سازی-تناوب، یک نگاشت تک-پارامتری است

x_{i+1}=f(x_{i}),

در این‌جا $f (x)$ تابعی است که توسط پارامتر دوشاخگی $a$ پارامتری می‌شود.

با این حد بدست می‌آید^[۳]

\delta =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n-1}-a_{n-2}}{a_{n}-a_{n-1}}}=4.669\,201\,609\,\ldots ,

که در آن $a n$ ها مقادیر گسسته $a$ در تناوب $n$ ام مضاعف‌سازی هستند.

نام‌ها

سرعت دوشاخگی فایگنباوم
دلتا

مقدار

۳۰ رقم اعشار: $δ$ = ۴٫۶۶۹۲۰۱۶۰۹۱۰۲۹۹۰۶۷۱۸۵۳۲۰۳۸۲۰۴۶۶…
(دنباله A006890 در OEIS)
یک تقریب منطقی ساده ۴ * ۳۰۷/۲۶۳ است

شرح

نگاشت‌های غیر-خطی

برای دیدن چگونگی پیدایش این عدد، نگاشت حقیقی یک پارامتری را در نظر بگیرید

f(x)=a-x^{2}.

در اینجا $a$ پارامتر انشعاب است، $x$ متغیر است. مقادیر $a$ که تناوب برای آن دوبرابر می‌شود (به عنوان مثال بزرگترین مقدار برای $a$ با هیچ مدار تناوب-۲، یا بزرگترین $a$ با هیچ مدار تناوب-۴)، $a 1$ ، $a 2$ و غیره هستند. این موارد در زیر آورده شده‌است:^[۴]

اطلاعات بیشتر n, تناوب ...

$n$	تناوب	پارامتر دوشاخگی ( $a n$ )	نسبت $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}an−۱ − an−2/an − an−۱$
۱	۲	۰٫۷۵	—
۲	۴	۱٫۲۵	—
۳	۸	۱٫۳۶۸۰۹۸۹	۴٫۲۳۳۷
۴	۱۶	۱٫۳۹۴۰۴۶۲	۴٫۵۵۱۵
۵	۳۲	۱٫۳۹۹۶۳۱۲	۴٫۶۴۵۸
۶	۶۴	۱٫۴۰۰۸۲۸۶	۴٫۶۶۳۹
۷	۱۲۸	۱٫۴۰۱۰۸۵۳	۴٫۶۶۸۲
۸	۲۵۶	۱٫۴۰۱۱۴۰۲	۴٫۶۶۸۹

این نسبت در ستون آخر به ثابت اول فایگنباوم همگرا می‌شود. همین عدد برای نگاشت لُجستیک بوجود می‌آید

f(x)=ax(1-x)

با پارامتر حقیقی $a$ و متغیر $x$ . جدول‌بندی مجدد مقادیر دوشاخگی:^[۵]

اطلاعات بیشتر n, تناوب ...

$n$	تناوب	پارامتر دوشاخگی ( $a n$ )	نسبت $a n -۱ - a n -2 / a n - a n -۱$
۱	۲	۳	—
۲	۴	۳٫۴۴۹۴۸۹۷	—
۳	۸	۳٫۵۴۴۰۹۰۳	۴٫۷۵۱۴
۴	۱۶	۳٫۵۶۴۴۰۷۳	۴٫۶۵۶۲
۵	۳۲	۳٫۵۶۸۷۵۹۴	۴٫۶۶۸۳
۶	۶۴	۳٫۵۶۹۶۹۱۶	۴٫۶۶۸۶
۷	۱۲۸	۳٫۵۶۹۸۹۱۳	۴٫۶۶۹۲
۸	۲۵۶	۳٫۵۶۹۹۳۴۰	۴٫۶۶۹۴

فراکتال

Thumb — خودهمانندی در این مجموعه مندلبرو که با بزرگنمایی در یک ریخت گِرد در حالی که در جهت منفی- $x$ قرار دارد، نشان داده شده‌است. مرکز نمایش از (۱٬۰-) تا (۱_/۳۱٬۰-) در حالی که چشم‌انداز از ۰٫۵ × ۰٫۵ تا ۰٫۱۲ × ۰٫۱۲ برای تقریبی نسبت فایگنباوم بزرگ‌نمایی می‌شود.

در مورد مجموعه مندلبرو برای چندجمله‌ای درجه دوم مختط

f(z)=z^{2}+c

ثابت فایگنباوم نسبت بین قطر دایره‌های متوالی در محور حقیقی در صفحه مختلط است (به انیمیشن سمت راست مراجعه کنید).

اطلاعات بیشتر نسبت

...

$n$	تناوب = $2 n$	پارامتر دوشاخگی ( $c n$ )	نسبت $={\dfrac {c_{n-1}-c_{n-2}}{c_{n}-c_{n-1}}}$
۱	۲	−۰٫۷۵	—
۲	۴	−۱٫۲۵	—
۳	۸	−۱٫۳۶۸۰۹۸۹	۴٫۲۳۳۷
۴	۱۶	−۱٫۳۹۴۰۴۶۲	۴٫۵۵۱۵
۵	۳۲	−۱٫۳۹۹۶۳۱۲	۴٫۶۴۵۸
۶	۶۴	−۱٫۴۰۰۸۲۸۷	۴٫۶۶۳۹
۷	۱۲۸	−۱٫۴۰۱۰۸۵۳	۴٫۶۶۸۲
۸	۲۵۶	−۱٫۴۰۱۱۴۰۲	۴٫۶۶۸۹
۹	۵۱۲	−۱٫۴۰۱۱۵۱۹۸۲۰۲۹
۱۰	۱۰۲۴	−۱٫۴۰۱۱۵۴۵۰۲۲۳۷
$\infty$		−۱٫۴۰۱۱۵۵۱۸۹۰…

اعتقاد بر این است که هر دو عدد اعداد متعالی هستند، اگرچه ثابت نشده‌است که چنین هستند.^[۷] همچنین هیچ اثبات شناخته شده‌ای مبنی بر غیر منطقی بودن هر یک از ثابت‌ها وجود ندارد.

اولین اثبات جهانشمولی بودن ثابتات فیگنباوم که توسط اسکار لانفورد در سال ۱۹۸۲ انجام شد^[۸] (با تصحیح اندکی توسط ژان پیر اکمان و پیتر ویتوِر از دانشگاه ژنو در سال ۱۹۸۷^[۹]) با کمک رایانه انجام شد. با گذشت سال‌ها، روش‌های غیر-عددی برای قسمت‌های مختلف اثبات کشف شد و به میخائیل لیوبیچ در ارائهٔ اولین اثبات کامل غیر-عددی کمک کرد.^[۱۰]

ثابت‌های فایگنباوم

تاریخ

ثابت اول

نام‌ها

مقدار

شرح

نگاشت‌های غیر-خطی

فراکتال

ثابت دوم

خواص

جستارهای وابسته

یادداشت

منابع

پیوند به بیرون

Wikiwand - on