عدد طبیعی

اعداد طبیعی یا اعداد صحیح مثبت^[۱] اعدادی هستند که از یک (۱) شروع می‌شوند و تا بینهایت ادامه دارند. این مجموعه شامل صفر نمی‌شود و برای شمارش و ترتیب استفاده می‌شود. به‌طور مثال، در «شش سکه روی میز است»، برای شمارش و در «این سومین شهر بزرگ است» برای ترتیب کاربرد دارند. در اصطلاح ریاضی، لغت مورد استفاده برای شمارش اشیاء واقعی «اعداد ترتیبی» است. مجموعهٔ اعداد طبیعی همان مجموعهٔ اعداد صحیح مثبت {...، ۱، ۲، ۳، ...} است که شامل اعداد مرکب، اعداد اول و یک می‌شود.

مجموعهٔ اعداد طبیعی با نماد N نمایش داده می‌شود. (فهرست نمادهای ریاضی)

اعداد طبیعی برای شمارش استفاده می‌شوند (یک سیب، دو سیب، سه سیب …)

به بیان ساده، اعداد طبیعی اعدادی هستند که در طبیعت برای شمردن عناصر استفاده می‌شوند. عدد صفر و اعداد منفی در طبیعت وجود ندارند و در مجموعهٔ اعداد طبیعی جای ندارند.

برای بودن یا نبودن صفر در مجموعهٔ اعداد طبیعی سه تعریف وجود دارد. طبق استاندارد ISO 80000-2، صفر به عنوان عدد صحیح غیرمنفی پذیرفته شده است.^[۲] در برخی تعاریف دیگر، صفر به عنوان عضو مجموعه اعداد طبیعی شناخته نمی‌شود و با افزودن آن مجموعه اعداد حسابی شکل می‌گیرد. مجموعهٔ اعداد طبیعی، یک مجموعه نامتناهی است و زیرمجموعهٔ اعداد حسابی، اعداد صحیح، اعداد گویا و اعداد حقیقی محسوب می‌شود.

در ریاضیات، اعداد صحیح و حسابی با حروف Z و W نمایش داده می‌شوند و N از ابتدای واژهٔ انگلیسی «Natural» گرفته شده است.

اصل استقرای ریاضی

اصلی‌ترین ویژگی اعداد طبیعی، اصل استقرای ریاضی است. این اصل بیان می‌کند که اگر ${\displaystyle P(x)}$ ویژگی یک عدد x باشد، برای اینکه P برای همهٔ اعداد طبیعی صدق کند، کافی است:

1. ${\displaystyle P(1)}$ صادق باشد، و
2. اگر ${\displaystyle P(k)}$ صادق است، بتوان نشان داد ${\displaystyle P(k+1)}$ نیز صادق است.^[۳]

با تکرار این فرایند، ویژگی P برای همهٔ اعداد طبیعی اثبات می‌شود.

مثال: جمع اعداد طبیعی

فرمول جمع اعداد طبیعی از ۱ تا n: ${\displaystyle 1+2+3+\dots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}$ اثبات با استقرا:

۱. برای n=۱، ${\displaystyle {\frac {1(1+1)}{2}}=1}$ صدق می‌کند. ۲. فرض می‌کنیم برای n=k صادق است: ${\displaystyle 1+2+\dots +k={\frac {k(k+1)}{2}}}$ ۳. بنابراین برای n=k+1 داریم: ${\displaystyle 1+2+\dots +k+(k+1)={\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)={\frac {(k+1)(k+2)}{2}}}$ بنابراین فرمول برای همهٔ n صادق است.^[۴]

بیان صوری استقرا

فرض کنید A مجموعه‌ای ناتهی از اعداد طبیعی باشد، و شرایط زیر برقرار باشند:

1. عدد ۱ عضو A باشد
2. اگر k عضو A باشد، آنگاه k+1 نیز عضو A باشد

آنگاه A شامل همهٔ اعداد طبیعی خواهد بود.^[۵]

تعریف بازگشتی

اعداد طبیعی در برنامه‌نویسی و محاسبات، از طریق تعریف بازگشتی نیز بیان می‌شوند. برای مثال، فاکتوریل n: ${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n}$ تعریف بازگشتی:

1. ${\displaystyle 1!=1}$
2. ${\displaystyle n!=(n-1)!\cdot n}$^[۶]

جمع اعداد طبیعی نیز می‌تواند بازگشتی تعریف شود:

1. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{1}a_{i}=a_{1}}$
2. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{n}+\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}}$

تعریف صوری: اصول پئانو

مقالهٔ اصلی: اصول موضوعه پئانو

اعداد طبیعی با مجموعهٔ N یا ${\displaystyle \mathbb {N} }$ و نماد ثابت ۰ و تابع تک‌متغیرهٔ S تعریف می‌شوند:

1. ۰ یک عدد طبیعی است
2. برای هر عدد طبیعی x, x=x
3. برای x و y طبیعی، اگر x=y آنگاه y=x
4. اگر x=y و y=z آنگاه x=z
5. اعداد طبیعی تحت تساوی بسته‌اند
6. S(n) تابعی یک‌به‌یک از n به n+1 است
7. هیچ n طبیعی ندارد که S(n)=۰ باشد

تاریخچه

ریشه‌های باستانی

اولین نمایش اعداد طبیعی با علامت برای هر شی بود. سپس مصریان باستان سیستم عددی قدرتمندی با هیروگلیف‌های ۱، ۱۰ و مضارب آن تا بیش از ۱ میلیون ایجاد کردند.^[۷] بابلی‌ها از سیستم ارزش مکانی با پایه ۶۰ استفاده می‌کردند.

صفر ابتدا توسط بابلی‌ها و سپس در تمدن اولمک و مایا به کار رفت، و در دوران معاصر توسط ریاضیدان هندی Brahmagupta معرفی شد.^[۸]

تعاریف مدرن

در قرن نوزدهم، اروپا دربارهٔ ماهیت اعداد طبیعی بحث کرد. هنری پوانکاره و لئوپولد کرونکر دیدگاه‌های متفاوتی ارائه دادند. گوتلوب فرگه و چارلز سندرز پیرس تعاریف رسمی اعداد طبیعی را با نظریه مجموعه‌ها و اصول پئانو ارائه کردند.^[۹]

جستارهای وابسته

طبقه‌بندی اعداد مختلط ${\displaystyle$ :\;\mathbb {C} } حقیقی ${\displaystyle$ :\;\mathbb {R} } گویا ${\displaystyle$ :\;\mathbb {Q} } صحیح ${\displaystyle$ :\;\mathbb {Z} } حسابی طبیعی ${\displaystyle$ :\;\mathbb {N} } یک: 1 اعداد اول اعداد مرکب صفر: 0 اعداد صحیح منفی کسری مختوم متناوب ساده مرکب گنگ اعداد گنگ جبری ترافرازنده موهومی