Beta-jakauma[1] eli
jakauma[2] on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jota käytetään bayesilaisessa todennäköisyyslaskennassa. Koska Beta-jakaumaa voi parametrisoida monella eri tavalla, sitä voidaan kutsua jakaumaperheeksi. Sen avulla voidaan esittää lähes kaikki äärelliselle välille konsentroituneet jakaumat.[1][2]
Pikafaktoja Merkintä, Parametrit ...
Beta-jakauma
Tiheysfunktio
|
Kertymäfunktio
|
Merkintä |
![{\displaystyle Beta(\alpha ,\beta )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad2679a098a9ef2448331f30fb8a62a14ee3311) |
Parametrit |
![{\displaystyle \alpha ,\beta \in [0,\infty )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f33a05da0af96fdec0c7e10b2b13532524bd851f) |
Määrittelyjoukko |
![{\displaystyle x\in [0,1]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a15936df283add394ab909aa7a5e24e7fb6bb2) |
Tiheysfunktio |
![{\displaystyle {\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f1193b8376d57c65f0c3ef5866f18eb2b121a13) |
Kertymäfunktio |
![{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta ))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9630823584d335a48f39af80122359a375c1c118) |
Odotusarvo |
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28bd51317b477dac57cc5c872c6567a9f4f78396) |
Moodi |
![{\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/835462c91cd68fb6a510eade233d1015a687a11a) |
Varianssi |
![{\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/170821a4f691f2daa7afe0a8a8dddceb3ae66d6c) |
Vinous |
![{\displaystyle {\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a4c16589965af50e123dbb8e6fdd26e9a65afa1) |
Huipukkuus |
![{\displaystyle {\frac {6[\alpha ^{3}+\alpha ^{2}(1-2\beta )+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/626a31af2c341c68203ff1c65a6c43548ba570fc) |
Entropia |
![{\displaystyle {\begin{matrix}\ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )-(\beta -1)\psi (\beta )\\[0.5em]+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c89e36ccbf7522eba17d6e5ddb267e7cef46b8e) |
Momentit generoiva funktio |
![{\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97b0e33f3134c2fc5c484016ab8e03e18d85481) |
Karakteristinen funktio |
;\alpha +\beta ;i\,t)\!}
(katso hypergeometrinen funktio) |
Fisherin informaatiomatriisi |
![{\displaystyle {\begin{matrix}\\\operatorname {var} [\ln X]&\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]\\\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]&\operatorname {var} [\ln(1-X)]\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1acc13ea0028ec81e619308a5f163484b225412) |
Sulje
Jos satunnaismuuttuja
on Beta-jakautunut parametreillä
ja
, merkitään se yleensä
[1]
![{\displaystyle \sim \beta _{\alpha ,\beta }.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dde04675aa9dbc0d33b0b3c98abbbc2421f6e3c)