Studentin t-jakauma

Studentin t-jakauma on todennäköisyysjakauma, jota hyödynnetään normaalijakautuneiden populaatioiden keskiarvon tarkastelussa kun otoskoko on pieni. Yleisesti käytetty t-testi perustuu t-jakaumaan.

Studentin t-jakauma

Tiheysfunktio
Kertymäfunktio
Parametrit	ν > 0 vapausaste (reaalinen)
Määrittelyjoukko	x ∈ (−∞; +∞)
Tiheysfunktio	${\displaystyle \textstyle {\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\!}$
Kertymäfunktio	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\times \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\end{matrix}}}$ missä 2F1 on hypergeometrinen funktio
Odotusarvo	0 kun ν > 1, muulloin määrittelemätön
Mediaani	0
Moodi	0
Varianssi	${\displaystyle \textstyle {\frac {\nu }{\nu -2}}}$ kun ν > 2, ∞ kun 1 < ν ≤ 2, muulloin määrittelemätön
Vinous	0 kun ν > 3, muulloin määrittelemätön
Huipukkuus	${\displaystyle \textstyle {\frac {6}{\nu -4}}}$ kun ν > 4, ∞ kun 2 < ν ≤ 4, muulloin määrittelemätön
Entropia	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi \left({\frac {1+\nu }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {\nu }}B\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)\right]}\end{matrix}}}$ ψ: digamma-funktio, B: beta-funktio
Momentit generoiva funktio	määrittelemätön
Karakteristinen funktio	${\displaystyle \textstyle {\frac {K_{\nu /2}\left({\sqrt {\nu }}|t|\right)\cdot \left({\sqrt {\nu }}|t|\right)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)2^{\nu /2-1}}}}$ kun ν > 0 Kν(x): toisen tyypin modifioitu Besselin funktio[1]

Kun satunnaismuuttuja X noudattaa t-jakaumaa, sen tiheysfunktio on:

${\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{{\sqrt {\nu \pi \,}}\,\Gamma (\nu /2)}}(1+x^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2},}$

jonka parametria ${\displaystyle \nu }$ kutsutaan vapausasteeksi, ja ${\displaystyle \Gamma }$ on gammafunktio.

Jakauman kertymäfunktio on:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}f(u)\,du=\left\{{\begin{matrix}1-{\frac {1}{2}}I_{y}(\nu /2,1/2)&{\mbox{kun}}\quad x>0,\\\\{\frac {1}{2}}I_{y}(\nu /2,1/2)&{\mbox{muulloin}},\end{matrix}}\right.}$

jossa ${\displaystyle I_{y}}$ on epätäydellisen ja täydellisen beta-funktion suhde (engl. regularized beta function)

${\displaystyle I_{y}(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{y}(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}\!}$

ja

${\displaystyle y={\frac {1}{1+x^{2}/\nu }}.}$

t-jakauma muistuttaa muodoltaan odotusarvolla 0 ja varianssilla 1 jakautunutta normaalijakaumaa, mutta sillä on paksummat hännät. Vapausasteiden kasvaessa se lähestyy kyseistä normaalijakaumaa. t-jakaumalla on myös yhteys F-jakaumaan: ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ noudattaa F-jakaumaa 1 ja ${\displaystyle \nu }$ vapausasteella.

Historia

t-jakauman johdon t-testisuureen jakaumana julkaisi ensimmäisenä 1908 William Sealy Gosset. Hän työskenteli Guinnessin panimolla Dublinissa ja tutki parhaiden ohralajikkeiden valintaa. Hän ei saanut julkaista tuloksiaan omalla nimellään, koska panimolla pelättiin salaisen tiedon vuotamista. Tämän vuoksi hän käytti salanimeä Student, jotta työnantaja ei huomaisi julkaisua. t-testi ja siihen liittyvä teoria tuli tunnetuksi Ronald Fisherin työn kautta.

Taulukko jakauman arvoista

Seuraavassa on jakauman arvot muutamille kertymäfunktion prosenttipisteille ja muutamille vapausasteille ${\displaystyle \nu }$.

Esimerkiksi yksisuuntaisen testin kriittinen arvo 10 % riskitasolla ja 4 vapausasteella on 1,533. Se tarkoittaa, että Pr(X < 1,533) = 0,9.

Jakauman symmetrisyyden vuoksi

Pr(T < −1,533) = Pr(T > 1,533) = 1 − 0,9 = 0,1,

jolloin raja-arvo vastaa kaksisuuntaisen testin 20 % riskitasoa:

Pr(−1,533 < T < 1,533) = 1 − 2(0,1) = 0,8.

${\displaystyle \nu }$	75%	80%	85%	90%	95%	97.5%	99%	99.5%	99.75%	99.9%	99.95%
1	1.000	1.376	1.963	3.078	6.314	12.71	31.82	63.66	127.3	318.3	636.6
2	0.816	1.061	1.386	1.886	2.920	4.303	6.965	9.925	14.09	22.33	31.60
3	0.765	0.978	1.250	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841	7.453	10.21	12.92
4	0.741	0.941	1.190	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604	5.598	7.173	8.610
5	0.727	0.920	1.156	1.476	2.015	2.571	3.365	4.032	4.773	5.893	6.869
6	0.718	0.906	1.134	1.440	1.943	2.447	3.143	3.707	4.317	5.208	5.959
7	0.711	0.896	1.119	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499	4.029	4.785	5.408
8	0.706	0.889	1.108	1.397	1.860	2.306	2.896	3.355	3.833	4.501	5.041
9	0.703	0.883	1.100	1.383	1.833	2.262	2.821	3.250	3.690	4.297	4.781
10	0.700	0.879	1.093	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169	3.581	4.144	4.587
11	0.697	0.876	1.088	1.363	1.796	2.201	2.718	3.106	3.497	4.025	4.437
12	0.695	0.873	1.083	1.356	1.782	2.179	2.681	3.055	3.428	3.930	4.318
13	0.694	0.870	1.079	1.350	1.771	2.160	2.650	3.012	3.372	3.852	4.221
14	0.692	0.868	1.076	1.345	1.761	2.145	2.624	2.977	3.326	3.787	4.140
15	0.691	0.866	1.074	1.341	1.753	2.131	2.602	2.947	3.286	3.733	4.073
16	0.690	0.865	1.071	1.337	1.746	2.120	2.583	2.921	3.252	3.686	4.015
17	0.689	0.863	1.069	1.333	1.740	2.110	2.567	2.898	3.222	3.646	3.965
18	0.688	0.862	1.067	1.330	1.734	2.101	2.552	2.878	3.197	3.610	3.922
19	0.688	0.861	1.066	1.328	1.729	2.093	2.539	2.861	3.174	3.579	3.883
20	0.687	0.860	1.064	1.325	1.725	2.086	2.528	2.845	3.153	3.552	3.850
21	0.686	0.859	1.063	1.323	1.721	2.080	2.518	2.831	3.135	3.527	3.819
22	0.686	0.858	1.061	1.321	1.717	2.074	2.508	2.819	3.119	3.505	3.792
23	0.685	0.858	1.060	1.319	1.714	2.069	2.500	2.807	3.104	3.485	3.767
24	0.685	0.857	1.059	1.318	1.711	2.064	2.492	2.797	3.091	3.467	3.745
25	0.684	0.856	1.058	1.316	1.708	2.060	2.485	2.787	3.078	3.450	3.725
26	0.684	0.856	1.058	1.315	1.706	2.056	2.479	2.779	3.067	3.435	3.707
27	0.684	0.855	1.057	1.314	1.703	2.052	2.473	2.771	3.057	3.421	3.690
28	0.683	0.855	1.056	1.313	1.701	2.048	2.467	2.763	3.047	3.408	3.674
29	0.683	0.854	1.055	1.311	1.699	2.045	2.462	2.756	3.038	3.396	3.659
30	0.683	0.854	1.055	1.310	1.697	2.042	2.457	2.750	3.030	3.385	3.646
40	0.681	0.851	1.050	1.303	1.684	2.021	2.423	2.704	2.971	3.307	3.551
50	0.679	0.849	1.047	1.299	1.676	2.009	2.403	2.678	2.937	3.261	3.496
60	0.679	0.848	1.045	1.296	1.671	2.000	2.390	2.660	2.915	3.232	3.460
80	0.678	0.846	1.043	1.292	1.664	1.990	2.374	2.639	2.887	3.195	3.416
100	0.677	0.845	1.042	1.290	1.660	1.984	2.364	2.626	2.871	3.174	3.390
120	0.677	0.845	1.041	1.289	1.658	1.980	2.358	2.617	2.860	3.160	3.373
${\displaystyle \infty }$	0.674	0.842	1.036	1.282	1.645	1.960	2.326	2.576	2.807	3.090	3.291