Surjektio

Surjektio on funktio, jonka arvojen joukko "täyttää" maalijoukon. Jokaiseen maalijoukon alkioon voidaan liittää jokin lähtöjoukon alkio. ^[1]

Surjektio

Muodollisesti kuvaus ${\displaystyle f:\,X\to Y}$ on surjektio, jos kaikilla ${\displaystyle y\in Y}$ on olemassa ${\displaystyle x\in X}$, jolle ${\displaystyle f(x)\ =y}$.

Jokainen kuvaus saadaan surjektioksi, kun poistetaan maalijoukosta B kaikki alkiot (merkitään siten saatua joukkoa B₁), joille ei kuvaudu mitään. Täten ${\displaystyle f:A\to B_{1}}$ on surjektio.

Etymologia

Termi surjektiivinen ja siihen liittyvät termit injektio ja bijektio esitteli Nicolas Bourbaki, joka oli ryhmä pääasiassa ranskalaisia matemaatikkoja 1900-luvulla, jotka tämän pseudonyymin alaisuudessa aloittivat kirjoittamaan vuonna 1935 kirjojen sarjaa, joissa esiteltiin selityksiä sen ajan edistyneestä modernista matematiikasta. Käsite juontuu ranskan kielen sanoista sur mikä tarkoittaa ylitse tai yläpuolella sekä inciter, motiver tai ejecter tai mitkä tarkoittavat "liikuttamista", "liikuttajaa" tai "ulos heittämistä", ja yhdistettynä muotoon surjektio käsite liittyy siihen tosiasiaan että määrittelyjoukon kuva surjektiivisesta funktiosta täydellisesti peittää funktion maalijoukon.

Esimerkkejä

Funktio f: R → R, f(x) = x², ei ole surjektio, koska esimerkiksi ei ole olemassa reaalilukua x, jolle x² = −1.

Jos kuitenkin annetaan funktiolle f maalijoukoksi epänegatiivisten reaalilukujen joukko, saadaan kuvaus g: R → [0, ∞[, g(x) = x², joka on surjektio. Tämä johtuu siitä, että mille tahansa epänegatiiviselle reaaliluvulle y, voidaan ratkaista yhtälö y = x², josta saadaan ${\displaystyle x=+{\sqrt {y}}}$ tai ${\displaystyle x=-{\sqrt {y}}}$.

Katso myös

• Injektio
• Bijektio