Espérance mathématique
moyenne des valeurs prises par une variable aléatoire, pondérées par leurs probabilités / De Wikipedia, l'encyclopédie encyclopedia
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En théorie des probabilités, l'espérance mathématique (ou tout simplement espérance, ou premier moment) d'une variable aléatoire réelle est, intuitivement, la moyenne des valeurs obtenues si l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire. Étant donné que c'est une moyenne, il se peut qu'elle ne soit pas dans les valeurs réalisables, et donc ce n'est pas forcément une valeur que l'on s'attend à trouver durant une expérience. Si est une variable aléatoire, l'espérance de se note .
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Elle correspond à une moyenne pondérée des valeurs que peut prendre cette variable. Dans le cas où celle-ci prend un nombre fini de valeurs, il s'agit d'une moyenne pondérée par les probabilités d'apparition de chaque valeur. Dans le cas où la variable aléatoire possède une densité de probabilité, l'espérance est la moyenne des valeurs pondérées par cette densité. De manière mathématiquement plus précise et plus générale, l'espérance d'une variable aléatoire est l'intégrale de cette variable selon la mesure de probabilité de l'espace probabilisé de départ.
La présentation intuitive de l'espérance exposée ci-dessus est la conséquence de la loi des grands nombres : l'espérance, si elle existe[1], est la limite presque-sûre de la moyenne des résultats au cours de plusieurs expériences, quand leur nombre augmente à l'infini.
L'espérance est une caractéristique importante d'une loi de probabilité : c'est un indicateur de position. Ainsi, une variable aléatoire est dite centrée si son espérance est nulle. Elle forme, avec la variance, indicateur de dispersion, l'ensemble des indicateurs qui sont presque systématiquement donnés quand est présentée une variable aléatoire.
L'espérance joue un rôle important dans un grand nombre de domaines, comme dans la théorie des jeux, la théorie de la décision, ou encore en théorie du signal et en statistique inférentielle où un estimateur est dit sans biais si son espérance est égale à la valeur du paramètre à estimer.
La notion d'espérance est popularisée par Christian Huygens dans son Traité du hasard de 1656 sous le nom de « valeur de la chance ».