Champ conservatif

Un champ de vecteurs est dit à circulation conservative si sa circulation sur toute courbe fermée est nulle^[1].

Sous certaines conditions^{[Lesquelles ?]} relatives au domaine de définition et à la régularité du champ, on peut dériver le potentiel de ce champ, fonction scalaire qui en permet une représentation alternative^[pas clair].

De même, un champ de vecteurs est dit à flux conservatif si son flux sur toute surface fermée est nul (sa divergence est alors nulle, et réciproquement^{[réf. nécessaire]}). Le champ magnétique est un exemple de champ à flux conservatif.

Conditions pour qu'un champ soit conservatif

Un champ de vecteurs continu est à circulation conservative si et seulement si il dérive d'un champ scalaire. Dans ce cas sa circulation d'un point A à un point B est indépendante du chemin suivi de A à B^[2].

Soit ${\displaystyle X}$ un champ de vecteurs de classe ${\displaystyle C^{1}}$ défini sur un ouvert ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. S'il est à circulation conservative on a, d'après ce qui précède, ${\displaystyle X=\nabla f}$ où ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ est une fonction de classe ${\displaystyle C^{2}}$. Le théorème de Schwarz assure alors que ${\displaystyle {\frac {\partial X_{j}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial X_{i}}{\partial x_{j}}}}$ quels que soient les entiers ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle j}$. Ceci donne donc un condition nécessaire pour qu'un champ de classe ${\displaystyle C^{1}}$ soit à circulation conservative. Dans le cas d'un champ défini sur un ouvert de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ la condition précédente se réexprime simplement en ${\displaystyle \mathrm {rot} X=0}$.

Cette condition n'est cependant pas suffisante. En effet le champ de vecteurs

${\displaystyle X:{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}\\{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\\0\end{pmatrix}}}$

défini sur ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2}\backslash \{(0,0)\})\times \mathbb {R} }$ n'est pas à circulation conservative même si ${\displaystyle \mathrm {rot} X=0}$.

Le lemme de Poincaré donne tout de même une réciproque partielle : dans le cas où ${\displaystyle X}$ est défini sur un ouvert simplement connexe on a équivalence entre ${\displaystyle X}$ est conservatif et ${\displaystyle {\frac {\partial X_{j}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial X_{i}}{\partial x_{j}}}}$ quels que soient les entiers ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle j}$^[3].

Application à l'électrostatique

En électromagnétisme, lorsque le champ est stationnaire, la circulation du champ électrique s'exprime comme la différence de potentiel en ces points :

${\displaystyle \int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=V_{\mathrm {A} }-V_{\mathrm {B} }}$

où ${\displaystyle {\vec {r}}}$ est le vecteur position du point M où l'on observe ${\displaystyle {\vec {E}}}$ et ${\displaystyle V}$.

Le champ électrostatique dérive d'un champ scalaire V, le champ de potentiel :

${\displaystyle {\vec {E}}=-{\overrightarrow {\operatorname {grad} }}V}$.

Articles connexes

• Théorème du gradient