Constante de De Bruijn-Newman

La constante de De Bruijn-Newman, notée Λ, est une constante mathématique définie par les zéros d'une certaine fonction H(λ,z), où λ est un paramètre réel et z est une variable complexe : H(λ,z) n'a que des zéros réels si et seulement si λ ≥ Λ.

Depuis 2018, il est démontré que 0 ≤ Λ ≤ 0,2.

La constante est intimement reliée à l'hypothèse de Riemann sur les zéros de la fonction zêta de Riemann. En bref, l'hypothèse de Riemann est équivalente à la conjecture suivante : Λ ≤ 0. Si l'hypothèse de Riemann est vraie, alors Λ = 0.

Expressions analytiques particulières de H

La fonction H(λ,z) est par définition la transformée de Fourier de exp(λx²)Φ(x) :

${\displaystyle H(\lambda ,z)=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)\ du}$

où ${\displaystyle \Phi }$ est la fonction à décroissance rapide définie par

${\displaystyle \Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})\exp(-\pi n^{2}e^{4u})}$

• H(0,x) = ξ(1/2+ix), où ξ désigne la fonction xi de Riemann

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)\zeta (s)}$

• H a la représentation de Wiener-Hopf :
  • pour λ ≥ 0, ${\displaystyle \xi (1/2+{\rm {i}}z)=A{\frac {\sqrt {\pi }}{\lambda }}\int _{-\infty }^{\infty }{\rm {e}}^{-(x-z)^{2}/(4\lambda )}H(\lambda ,x){\rm {d}}x}$
  • pour λ < 0,

${\displaystyle H(z,\lambda )={\frac {B{\sqrt {\pi }}}{\lambda }}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left({\frac {-1}{4\lambda }}(x-z)^{2}\right)\xi (1/2+ix)\,dx,}$ avec ${\textstyle z\in \mathbb {C} }$ et ${\textstyle \lambda \in \mathbb {R} }$

où A et B sont des constantes réelles.

Recherche et approximation de Λ

Majorant

Date	Publication	Majorant de Λ	Auteur(s)	Réf.
juill. 1948	sept. 1950	Λ ≤ 1/2	de Bruijn	[1]
déc. 2008	avr. 2009	Λ < 1/2	Ki, Kim et Lee	[2]
avr. 2019	août 2019	Λ ≤ 0,22	15e projet Polymath	[3]
avr. 2020	janvier 2021	Λ ≤ 0,2	Platt et Trudgian (en)	[4]

Minorant

Charles M. Newman (en) a conjecturé en 1976 que Λ ≥ 0^[5].

D'imposants calculs sur Λ ont été faits depuis 1987 et sont encore menés à l'heure actuelle :

Date	Publication	Minorant de Λ	Auteur(s)	Réf.
juin 1987	juin 1988	Λ > –50	Csordas, Norfolk et Varga	[6]
août 1989	janv. 1991	Λ > –5	te Riele	[7]
mars 1990	1992	Λ > –0,385	Norfolk, Ruttan et Varga	[8]
mai 1991	juin 1991	Λ > −0,0991	Csordas, Ruttan et Varga	[9]
nov. 1992	mars 1994	Λ > −4,379 × 10−6	Csordas, Smith et Varga	[10]
nov. 1993	déc. 1993	Λ > −5,895 × 10−9	Odlyzko, Smith et Varga	[11]
fév. 2000	sept. 2000	Λ > −2,7 × 10−9	Odlyzko	[12]
mai 2009	mars 2011	Λ > −1,145 41 × 10−11	Saouter, Gourdon et Demichel	[13]
janv. 2018	avr. 2020	Λ ≥ 0	Rodgers et Tao	[14],[15]

La démonstration en 2018 que Λ ≥ 0 confirme donc la conjecture de Newman.