Droite de Simson

Soit un triangle ABC, M un point du plan et U, V et W les projetés orthogonaux de M sur les droites (BC), (AC) et (AB). Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes :

• M est sur le cercle circonscrit au triangle ;
• U, V et W sont alignés.

Le point M du cercle circonscrit au triangle (ABC) se projette perpendiculairement sur les trois côtés (prolongés au besoin) en trois points U, V, W alignés.

Dans ce cas, la droite portant les points U, V et W s'appelle la droite de Simson (ou droite de Wallace, qui fut en fait le premier à la découvrir en 1799) associée au point M.

En particulier :

• la droite de Simson associée à un sommet est la hauteur issue de ce sommet ;
• la droite de Simson du point diamétralement opposé à un sommet sur le cercle circonscrit est le côté opposé à ce sommet.

Diverses propriétés

Démonstration de l'existence de la droite de Simson

On se contentera ici d'une preuve par analogie à partir de la figure proposée en illustration.

${\displaystyle {\widehat {UVM}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {UCM}}}$ sont supplémentaires

Pour montrer l'existence de la droite de Simson, il nous faut montrer que les points U, V et W sont alignés. Cela revient à montrer que les angles ${\displaystyle {\widehat {UVM}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {MVW}}}$ sont supplémentaires, c'est-à-dire que ${\displaystyle {\widehat {UVM}}+{\widehat {MVW}}=180^{\circ }}$. Nous cherchons donc à évaluer la somme suivante :

(i) ${\displaystyle {\widehat {UVM}}+{\widehat {MVW}}}$

Or ${\displaystyle {\widehat {MVC}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {MUC}}}$ sont droits, donc M, V, U et C sont cocycliques et MVUC forme un quadrilatère inscriptible.

On en déduit que ${\displaystyle {\widehat {UVM}}+{\widehat {UCM}}=180^{\circ }}$ soit encore :

(ii) ${\displaystyle {\widehat {UVM}}+{\widehat {BCM}}=180^{\circ }}$

${\displaystyle {\widehat {MVW}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {MAW}}}$ sont égaux

De même ${\displaystyle {\widehat {MVA}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {MWA}}}$ sont droits, donc M, V, A et W sont cocycliques et MVAW forme un quadrilatère inscriptible.

On en déduit que :

(iii) ${\displaystyle {\widehat {MVW}}={\widehat {MAW}}=180^{\circ }-{\widehat {MAB}}}$

En remplaçant dans (i) ${\displaystyle {\widehat {UVM}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {MVW}}}$ par leur valeur donnée dans (ii) et (iii) on obtient :

(iv) ${\displaystyle {\widehat {UVM}}+{\widehat {MVW}}=180^{\circ }-{\widehat {BCM}}+180^{\circ }-{\widehat {MAB}}=360^{\circ }-{\widehat {BCM}}-{\widehat {MAB}}}$

Or, par hypothèse A, B, C et M sont cocycliques et ABCM forme un quadrilatère inscriptible. Nous avons donc :

(v) ${\displaystyle {\widehat {BCM}}+{\widehat {MAB}}=180^{\circ }}$

En reportant (v) dans (iv) on obtient : ${\displaystyle {\widehat {UVM}}+{\widehat {MVW}}=180^{\circ }}$

CQFD.

Si H est l'orthocentre du triangle ABC, alors la droite MH et la droite de Simson associée à M se coupent sur le cercle d'Euler du triangle ABC.

Si M et M' sont deux points du cercle circonscrit, alors l'angle entre les droites de Simson de ces deux points est la moitié de l'arc MM'. En particulier, si M et M' sont diamétralement opposés sur le cercle leurs droites de Simson sont perpendiculaires et en outre leur point d'intersection se trouve sur le cercle d'Euler du triangle.

Deux triangles étant donnés, inscrits dans le même cercle, les deux droites de Simson d'un point M par rapport aux deux triangles font entre elles un angle constant, qui ne dépend pas du choix du point M.

Enveloppe des droites de Simson

Théorème — L'enveloppe des droites de Simson d'un triangle est une deltoïde, appelée deltoïde de Steiner.

Les droites de Simson (en rouge) sont tangentes à une deltoïde (en bleu).

Généralisation

Jean-Victor Poncelet a établi dans son Traité des propriétés projectives des figures que si on projette un point du cercle circonscrit à un triangle sur les côtés (étendus) du triangle selon un même angle α fixe, alors les trois points sont alignés ; la droite de Simson correspond au cas α = π/2^[1].