Espace normal

En mathématiques, un espace normal est un espace topologique vérifiant un axiome de séparation plus fort que la condition usuelle d'être un espace séparé. Cette définition est à la base de résultats comme le lemme d'Urysohn ou le théorème de prolongement de Tietze. Tout espace métrisable est normal.

Un espace topologique séparé X est dit normal lorsque, pour tous fermés disjoints E et F de X, il existe des ouverts disjoints U et V tels que U contienne E et V, F.

Définition

Soit X un espace topologique. On dit que X est normal^[1] s'il est séparé et s'il vérifie de plus l'axiome de séparation T₄^[2] :

pour tous fermés disjoints F et G, il existe deux ouverts disjoints U et V tels que F soit inclus dans U et G dans V.

Exemples

• Tout espace topologique métrisable est normal^[3].
  En effet, il est parfaitement normal, ce qui entraîne qu'il est normal et même complètement normal.
  Par exemple : ℝⁿ muni de sa topologie usuelle est normal.
• Tout ensemble totalement ordonné, muni de la topologie de l'ordre, est (complètement) normal car (héréditairement) collectivement normal et même monotonement normal.
• Tout espace compact est normal^[4]. Plus généralement, tout espace paracompact est collectivement normal.
• Un exemple d'espace compact non complètement normal est la planche de Tychonoff. En effet, la planche de Tychonoff épointée n'est pas normale (bien que localement compacte).

Propriétés

Propriétés élémentaires

• Si deux espaces topologiques sont homéomorphes et si l'un d'eux est normal, l'autre l'est aussi.En effet la propriété d'être normal est, comme tous les axiomes de séparation, formulée de façon à être invariante par homéomorphisme.
• Tout fermé d'un espace normal est normal (pour la topologie induite).Cette seconde assertion est, elle aussi, « immédiate, à partir de la remarque qu'une partie fermée d'un sous-espace fermé est aussi fermée dans l'espace entier^[5] ».

Conditions nécessaires et suffisantes

Il existe de nombreuses caractérisations de la propriété T₄ (donc de la normalité, quand on impose de plus à l'espace d'être séparé). Ces caractérisations sont à l'origine des propriétés donnant de la valeur à la définition. Citons-en trois, dont la première n'est qu'une reformulation élémentaire mais les deux autres sont bien plus techniques :

• Un espace topologique X est T₄ si, et seulement si, pour tout fermé F de X et tout ouvert O contenant F, il existe un ouvert U contenant F tel que l'adhérence de U soit incluse dans O^[6] :

${\displaystyle F\subset U\subset {\overline {U}}\subset O.}$

Démonstration

Soit F un fermé de X. La donnée d'un fermé G disjoint de F équivaut, par passage au complémentaire, à celle d'un ouvert O contenant F.

• Si U et V sont deux ouverts disjoints tels que F est inclus dans U et G dans V, alors le complémentaire de V est un fermé, qui contient U donc U, et qui est inclus dans O.
• Réciproquement, si U est un ouvert contenant F et si U est inclus dans O, alors le complémentaire de U est un ouvert contenant G et disjoint de U.

• Lemme d'Urysohn : Un espace topologique X est T₄ si, et seulement si, pour tous fermés disjoints F et G de X, il existe une fonction continue qui vaut 0 sur F et 1 sur G.
• Théorème de prolongement de Tietze : Pour un espace topologique X, les trois propositions suivantes sont équivalentes :
  • X est T₄ ;
  • pour tout fermé F de X et toute application continue f de F dans ℝ, il existe une application continue de X dans ℝ qui prolonge f ;
  • pour tout fermé F de X et toute application continue f de F dans un segment réel [–M, M], il existe une application continue de X dans [–M, M] qui prolonge f.
• Un espace X est T₄ (si et) seulement si tout recouvrement ouvert localement fini de X possède une partition de l'unité subordonnée.

Condition suffisante de non-normalité

Lemme de Jones (de)^[7],[8] — Pour qu'un espace séparable ne soit pas normal, il suffit qu'il contienne un sous-espace fermé discret ayant la puissance du continu.

Démonstration

Soit X un espace séparable, c'est-à-dire contenant un sous-ensemble dénombrable dense D. Toute application continue de X dans ℝ est alors déterminée par sa restriction à D, donc l'ensemble de ces applications est de cardinal inférieur ou égal à |ℝ|^|D| = (2^ℵ₀)^ℵ₀ = 2^ℵ₀.

Soit F un fermé discret de cardinal 2^ℵ₀. L'ensemble des applications continues de F dans ℝ est alors de cardinal 2^(2ℵ₀) > 2^ℵ₀, donc elles ne sont pas toutes continûment prolongeables à X.

D'après le théorème de prolongement de Tietze, X n'est donc pas normal.

Par cet argument, le plan de Sorgenfrey et le plan de Moore ne sont pas normaux.

La non-normalité du plan de Sorgenfrey prouve que le produit de deux espaces normaux n'est pas toujours normal (voir aussi : Droite de Michael).

Histoire

Cette notion provient du mathématicien Heinrich Tietze et date de 1923^[9]. Nicolas Bourbaki précise à son sujet : « Les travaux récents ont mis en évidence que, dans ce genre de question (topologie algébrique), la notion d'espace normal est peu maniable, parce qu'elle offre trop de possibilités de « pathologie » ; on doit le plus souvent lui substituer la notion plus restrictive d'espace paracompact, introduite en 1944 par J. Dieudonné^[9]. »