Plan de Moore

En mathématiques, le plan de Moore ou plan de Niemytzki — nommé d'après Robert Lee Moore et Viktor Niemytzki — est un espace topologique utilisé comme contre-exemple^[1]. Il s'agit en fait d'un demi-plan, muni d'une topologie strictement plus fine que la topologie usuelle.

Définition

Sur le demi-plan supérieur Γ = {(p, q) ∈ ℝ² | q ≥ 0}, on définit une topologie par les voisinages, de la manière suivante :

• si q > 0, les voisinages de (p, q) dans Γ sont les mêmes que ses voisinages dans ℝ×ℝ⁺ (muni de la topologie produit, induite par la topologie usuelle de ℝ²) ;
• une base de voisinages d'un point (p, 0) de l'axe des abscisses est constituée des {(p, 0)}∪D, pour tout disque ouvert D de ℝ×ℝ⁺ tangent en (p, 0) à cet axe, i.e. D de la forme {(x, y) ∈ ℝ² | (x – p)² + (y – r)² < r²} pour n'importe quel réel r > 0.

Propriétés

• Le plan de Moore Γ est, par construction, à bases dénombrables de voisinages.
• Il n'est pas de Lindelöf. En effet, l'axe des abscisses Γ₀ = ℝ×{0} est un fermé discret non dénombrable.
• Par conséquent, Γ n'est pas à base dénombrable ni σ-compact.
• Il est séparable : ℚ×ℚ⁺ est dense.
• Il n'est donc pas métrisable, puisque le sous-espace Γ₀ n'est pas séparable.
• Il n'est pas localement compact^[2] (alors que Γ₀ et son complémentaire le sont clairement).
• Il est tout de même complètement régulier.
• Il n'est pas normal, puisqu'il est séparable et possède un fermé discret Γ₀ ayant la puissance du continu ou, plus directement, puisque ℚ×{0} et (ℝ\ℚ)×{0} sont deux fermés disjoints non séparés (en) par deux ouverts disjoints.
• Il n'est pas paracompact (puisqu'il n'est pas normal), ni métacompact (en) (seulement dénombrablement métacompact).

Preuve de la complète régularité^[3]

Il s'agit de montrer que pour tout point M = (p, q) de Γ et tout voisinage V de M, il existe une fonction continue de Γ dans [0, 1] valant 0 au point M et 1 sur le complémentaire de V. Le seul cas délicat est celui où q est nul. Si V = {(p, 0)}∪D avec D comme dans la définition ci-dessus, on peut par exemple définir f sur D par : f(N) = d(M, N)/L, où L est la longueur de la corde de D issue de M et passant par N.