Fonction de Clausen

En mathématiques, la fonction de Clausen, étudiée par Clausen puis (entre autres) Kummer et Rogers (en), est définie par l'intégrale suivante :

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }\ln |2\sin(t/2)|\,\mathrm {d} t}$.

Graphe des fonctions de Clausen Cl₂ (rouge) et Cl₄ (vert).

Plus généralement, on définit, pour Re(s) > 1 :

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{s}(\theta )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n\theta )}{n^{s}}}}$.

Propriétés

• Les fonctions de Clausen sont impaires et 2π-périodiques, donc nulles sur πℤ.
• ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=\int _{0}^{\pi -\theta }\ln |2\cos(s/2)|\,\mathrm {d} s}$.
• La fonction Cl_n pour n ∈ ℕ* est reliée au polylogarithme Li_n par :
  • ${\displaystyle \forall m\in \mathbb {N} ^{*}\quad \operatorname {Cl} _{2m}(\theta )=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{2m}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }))}$ ;
  • ${\displaystyle \forall m\in \mathbb {N} \quad \operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\operatorname {Re} (\operatorname {Li} _{2m+1}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }))}$.
• Pour tout entier m ≥ 2, ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{m}(2\theta )=2^{m-1}{\Bigl (}\operatorname {Cl} _{m}(\theta )-(-1)^{m}\operatorname {Cl} _{m}(\pi -\theta ){\Bigr )}}$.
• ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\exp(\mathrm {i} \theta ))=\zeta (2)-\theta (2\pi -\theta )/4+\mathrm {i} \operatorname {Cl} _{2}(\theta )}$

  pour 0 ≤ θ ≤ 2π, où ζ est la fonction zêta de Riemann^[1].

Accélération du calcul de la série

Une des accélérations de série de la fonction de Clausen est donnée par :

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=1-\ln |\theta |+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}}$,

pour |θ| < 2π.

Une forme convergeant plus rapidement est donnée par :

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=3-\ln \left[|\theta |\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\right]-{\frac {2\pi }{\theta }}\ln \left({\frac {2\pi +\theta }{2\pi -\theta }}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}}$.

La rapidité de la convergence de cette série est due au fait que ζ(n) tend rapidement vers 1 quand n tend vers l'infini. Ces deux formes sont générées grâce aux techniques de somme utilisées pour obtenir la série zêta rationnelle^[2].

Valeurs particulières

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=K}$

où K est la constante de Catalan. Plus généralement :

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{s}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\beta (s)}$

où β est la fonction bêta de Dirichlet.

La valeur maximale de Cl₂ est la constante de Gieseking (de)^[3],[4] :

${\displaystyle \mathrm {G} =\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)={\frac {3}{2}}\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)\approx 1{,}015}$.

Le volume hyperbolique (en) du complément du nœud en huit (en) est le double de cette constante^[5],[6] :

${\displaystyle V=2\mathrm {G} =2{\sqrt {3}}\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n{\binom {2n}{n}}}}\sum _{k=n}^{2n-1}{\frac {1}{k}}\approx 2{,}03}$ ( A091518)^[7].

Extensions&nbsp;: les fonctions de Glaisher-Clausen

Fonctions de Clausen standard

Fonctions de Glaisher–Clausen

Plus généralement, on peut définir deux classes de fonctions de Clausen généralisées :

${\displaystyle \operatorname {S} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{z}}}}$

${\displaystyle \operatorname {C} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{z}}}}$

La définition est valide pour tout complexe z tel que Re(z) >1. Le domaine de définition peut être étendu à tout le plan complexe par prolongement analytique.

Pour z entier positif, les fonctions de Clausen standard sont définies par les séries de Fourier suivantes :

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}}$

Les fonctions de Clausen de type SL sont aussi notées ${\displaystyle \operatorname {Gl} _{m}(\theta )\,}$ et parfois appelées fonctions de Glaisher-Clausen (du nom de James Whitbread Lee Glaisher, d'où la notation GL^[8]), qu'on peut définir par :

${\displaystyle \mathrm {Gl} _{n}(\theta )={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(\mathrm {Li} _{n}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })+\mathrm {Li} _{n}(\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta })\right)&\mathrm {si} \ n\ \mathrm {pair} \\{\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {Li} _{n}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })-\mathrm {Li} _{n}(\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta })\right)&\mathrm {si} \ n\ \mathrm {impair} \end{cases}}}$